1. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

1 – 10. При выполнении плана товарооборота магазин должен продать товары трех видов в количествах а₁₁, а₁₂, а₁₃  (тыс. штук) соответственно. Если продавать эти товары в количествах а₂₁, а₂₂, а₂₃  (тыс. штук) соответственно, то план товарооборота будет перевыполнен в полтора раза. Если же товары продать в количествах а₃₁, а₃₂, а₃₃  (тыс. штук) соответственно, то выполнение плана составит лишь 75%.

Постройте математическую модель задачи и определите стоимость единицы товара каждого вида, если план товарооборота составляет Q тыс. руб.

Решите задачу:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом с использованием обратной матрицы.

План товарооборота магазина Q (тыс. руб.) и значения а_ij (в виде матрицы) даны ниже.

2. Основная задача линейного программирования

11 - 20. Предприятие выпускает два вида продукции А и В, для производства которых используется сырьё трёх видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а₁, а₂, а₃ кг соответственно а для единицы изделия В – b₁, b₂, b₃ кг. Производство обеспеченно сырьём каждого вида в количестве Р₁, Р₂, Р₃ кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет a руб., а единицы изделия В ­– b руб. Требуется составить план производства изделия А и В, обеспечивающий максимальную стоимость готовой продукции.

Выполнить следующие задания:

а) Составить математическую модель задачи;

б) Решить задачу геометрически;

в) Решить задачу симплекс-методом;

11.        a₁=2             b₁=5             p₁=432                    a=34

            a₂=3             b₂=4             p₂=424                    b=50

            a₃=5             b₃=3             p₃=582         

12.        a₁=4             b₁=1             p₁=240                    a=40

            a₂=2             b₂=3             p₂=180                    b=30

            a₃=1             b₃=5             p₃=251                             

13.        a₁=2             b₁=1             p₁=400                    a=60

            a₂=3             b₂=4             p₂=900                    b=40

            a₃=1             b₃=3             p₃=600                             

14.        a₁=1             b₁=3             p₁=300                    a=52

            a₂=3             b₂=4             p₂=477                    b=39

            a₃=4             b₃=1             p₃=441                             

15.        a₁=2             b₁=5             p₁=432                    a=22

            a₂=3             b₂=4             p₂=424                    b=40

            a₃=5             b₃=3             p₃=582                   

16.        a₁=3             b₁=1             p₁=330                    a=33

            a₂=2             b₂=8             p₂=800                    b=24

            a₃=5             b₃=6             p₃=745                             

17.        a₁=3             b₁=4             p₁=600                    a=42

            a₂=3             b₂=1             p₂=357                    b=26

            a₃=1             b₃=5             p₃=600                             

18.        a₁=5             b₁=4             p₁=810                    a=34

            a₂=4             b₂=2             p₂=980                    b=36

            a₃=2             b₃=6             p₃=786                   

19.        a₁=2             b₁=4             p₁=580                    a=30

            a₂=4             b₂=4             p₂=680                    b=44

            a₃=3             b₃=2             p₃=438                             

20.        a₁=5             b₁=2             p₁=750                    a=30

            a₂=4             b₂=5             p₂=807                    b=49

            a₃=1             b₃=7             p₃=840                   

3. Теория вероятностей

21. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,6, а для второго - 0,9. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут:

а) только первый стрелок;    б) оба стрелка.

22. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для первого прибора составляет 0,8, а для второго - 0,95. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:

а) только второй прибор;      б) хотя бы один прибор.

23. Прибор состоит из двух узлов, которые во время работы могут независимо друг от друга выходить из строя. Вероятность безотказной работы первого узла 0,75, а второго - 0,8. Найти вероятность того, что во время гарантийного срока будут работать исправно:

а) только один узел;    б) оба узла.

24. Студент знает 24 из 30 вопросов по первому разделу и 32 из 35 вопросов по второму разделу курса. На экзамене ему случайным образом предлагается по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:

а) только на один вопрос;     б) хотя бы на один вопрос.

25. В магазине 20 цветных и 30 черно-белых телевизоров. Дополнительной регулировки требуют 2цветных и 6 черно-белых телевизора. Наугад взяли по одному телевизору из каждой группы. Найти вероятность того, что регулировки требуют:

а) только черно-белый телевизор;   б) оба телевизора.

26. Проверкой качества занимаются два контролера - контролер ОТК на заводе и товаровед торгового предприятия. Вероятность выявления дефекта контролером ОТК равна 0,8, товароведом - 0,95. Найти вероятность того, что дефект выявит:

а) хотя бы один проверяющий;   б) только товаровед.

27. Имеется 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что из них 4 единицы первого сорта. Вычислите вероятность того,  что среди двух наугад отобранных друг за другом единиц товара:

а) хотя бы одна первого сорта;   б) только одна первого сорта.

28. В группе из 25 студентов 6 слабоуспевающих. Из группы наугад выбирают два человека. Какова вероятность того, что среди них:

а) только один слабоуспевающий;  б) нет слабоуспевающих.

29. Имеется 7 радиоламп, среди которых 3 неисправные, на вид не отличающиеся от исправных. Наугад выбирают друг за другом две лампы. Какова вероятность того, что:

а) обе лампы окажутся исправными;      б) хотя бы одна из них неисправная.

30. Из 40 вопросов студент знает 35. На экзамене ему случайным образом предлагается два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:

а) на оба вопроса;   б) хотя бы на один вопрос.

31. Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым – 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?

32. В двух одинаковых коробках находятся карандаши «Конструктор». Известно, что 1/3 карандашей в первой коробке и 1/4 карандашей во второй коробке характеризуются твердостью ТМ. Наугад выбирается коробка и из нее один карандаш. Он оказался твердости ТМ. Какова вероятность того, что он из первой коробки?

33. Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступившей от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки первого сорта. Вероятность того, что товаровед совершит ошибку в установке сорта, проверяя первосортную партию, равна 0,15, а при проверке непервосортной партии вероятность такой ошибки 0,2. Какова вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт партии яблок?

34. Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно, что 25% первой партии и 40% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта?

35. Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки?

36. В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия 200 единиц, из них 50 единиц первого сорта. Из общей массы наугад выбирается одна единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?

37. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый магазин зависят от их местоположения и равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар?

38. Два контролера производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму контролеру – 0,45. Первый контролер выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что при проверке не правильно будет оценено качество изделия.

39. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую 0,6. Вероятность того, что к приходу пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?

40. В магазин поступила обувь от двух поставщиков. Количество обуви, поступившей от первого поставщика в два раза больше, чем от второго. Известно, что в среднем 20% обуви от первого поставщика и 35% обуви от второго поставщика имеют разные дефекты отделки. Из общей массы наугад отбирают одну упаковку с обувью. Оказалось, что она не имеет дефекта отделки. Какова вероятность того, что ее изготовил первый поставщик?

41 - 50. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Выполните задания:

* вычислите неизвестную вероятность р;

* определите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х).

* Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.

51. По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока

 а) 184 телевизора;  б) от 172 до 184 телевизоров.

52. При оценке качества продукции было установлено, что в среднем третья часть выпускаемой фабрикой обуви имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в партии из 200 пар, поступившей в магазин будут иметь дефекты отделки:

 а) 60 пар;  б) от 60 до 70 пар.

53. По данным опроса установлено, что 30% покупателей требуется женская обувь 37 размера. Известно, что ежедневно магазин в среднем посещают 189 человек. Найдите наивероятнейшее число покупателей, которым потребуется женская обувь 37 размера, и вычислите соответствующую этому числу вероятность.

54. Работниками магазина установлено, что в среднем 55% телевизоров не требуют дополнительной регулировки при продаже. Найти наивероятнейшее число телевизоров, не требующих регулировки, в партии из 110 телевизоров и вычислите соответствующую этому числу вероятность.

55. Известно, что в среднем 64% студентов потока выполняют контрольные работы в срок. Какова вероятность того, что из 100 студентов потока задержат представление контрольных работ:

 а) 30 студентов; б) от 30 до 48 студентов.

56. Установлено, что третья часть покупателей желает приобрести модную одежду. Магазин посещает в среднем 800 человек в месяц. Найдите наивероятнейшее число покупателей, желающих приобрести модную одежду и вычислите соответствующую этому числу вероятность.

57.  Известно, что 14% стаканов, изготавливаемых на данном предприятии имеют дефект. Какова вероятность того, что из 300 стаканов данной партии:

 а) имеют дефект 45;  б) не имеют дефекта от 230 до 250.

58. Установлено, что предприятие бытового обслуживания выполняет в срок в среднем 60% заказов. Какова вероятность того, что из 150 заказов будут выполнены в срок:

 а) 90 заказов;  б) от 90 до 107 заказов.

59. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий не будут иметь дефекта:

 а) 342 изделия;   б) от 342 до 370 изделий.

60. Известно, что 70% поставляемого в магазин товара составляют изделия первого сорта. Найдите наивероятнейшее число товаров первого сорта в партии из 400 изделий и вычислите соответствующую этому числу вероятность.