Вариант 1.

1. Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять 6 охранников по 6 постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться одного раза в месяц. Чтобы оценить, возможно ли это, найти число различных комбинаций расстановки охранников.

2. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает два вопроса.

3. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что трое первых покупателей потребуют обувь 41-го размера.

4. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров той же партии хотя бы один потребует ремонта.

5. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей _ на заводе №2 и 18 деталей _ на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

6. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых диодов 50 будут бракованными?

Вариант 2.

1. Новый президент банка должен назначить двух новых вице-президентов из числа 5 директоров. Сколько способов существует у президента, если: а) один из вице-президентов (первый) выше другого по должности; б) вице-президенты по должности равны между собой?

2. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,9 для первого сигнализатора и 0,95 для второго.  Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

4. В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

5. В первой коробке содержатся 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

5. Прядильщица обслуживает 1000 веретен, работающих независимо друг от друга. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

Вариант 3.

1. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия?

2. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

3. В ящике лежат 10 заклепок, отличающихся друг от друга только материалом: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наугад берутся две заклепки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала?

4. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном вы-стреле постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?

5. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

6. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Вариант 4.

1. В электричке 9 вагонов. Сколько существует способов размещения четырех пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

2. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А А А Е И К М М Т Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?

3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных наудачу взятых изделий только одно стандартное.

4. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Ве-роятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

5. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые де-тали. Первая линия дает 70%, вторая _ 20% и третья _ 10% всей про-дукции. Вероятности получения бракованной продукции на каждой ли-нии соответственно равны 0,02; 0,01; 0,05. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии.

6. В среднем левши составляют 1% от общего числа студентов, какова вероятность того, что среди 200 наудачу выбранных студентов найдется ровно 4 левши?

Вариант 5.

1. Одна из воюющих сторон захватила в плен 8 солдат, а другая 7. Определить, сколькими способами стороны могут обменять четверых военнопленных.

2. В партии готовых изделий, содержащей 20 штук, имеется 4 бра-кованных. Партию делят на две равные части. Какова вероятность, что бракованные изделия разделятся поровну?

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

4. Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, равна 0,5, второй _ 0,7, третьей _ 0,4. Определить вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки.

5. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Стреляющий берет наудачу одно из ружей. Найти вероятность попадания из него.

6. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет 90 мальчиков.

Вариант 6.

1. Сколько различных ¾слов¿, состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова ¾буран¿? А если слова содержат не менее трех букв?

2. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

3. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

4. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

5. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй _ 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Определить вероятность того, что шар черный.

6. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет 425 семян.

Вариант 7.

1. Участники собрания из 25 человек должно выбрать президиум в составе: председатель, его заместитель и секретарь. Сколько существует способов это сделать?

2. В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется 5 лампочек повышенного качества. В выборку отбирается 7 лампочек. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества?

3. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый, второй и третий вопросы, соответственно равны 0,9; 0,9; 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса.

4. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42; 0,5; 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

5. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном соотношении 1:2:3, причем вероятности брака для этих заводов со-ответственно равны 0,3; 0,5; 0,4. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка на приборе отсутствует)?

6. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что среди них у трех наудачу выбранных студентов дни рождения совпадают?

Вариант 8.

1. Сколькими способами можно распределить 30 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 7, в другом _ 15 и в третьем 8 вакантных места?

2. В магазине работает 10 продавцов, из них 6 женщин. В смену заняты 3 продавца. Найти вероятность того, что в наудачу укомплектованную смену войдут все 3 продавца мужчины.

3. На автобазе имеется 10 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность того, что на линию выйдут не менее 9 автомашин.

4. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было бы ожидать, что среди них есть хотя бы одно изделие первого сорта?

5. По мишени стреляют независимо друг от друга 3 человека, вероятности попадания каждого из них в цель соответственно равны 0,6; 0,5; 0,4. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

6. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются случайным образом в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл.

Вариант 9.

1. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове математика?

2. Из 15 билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 билетов будет 2 выигрышных?

3. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?

4. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

5. В трех ящиках находятся соответственно: в первом _ 2 белых и 3 черных шара, во втором _ 4 белых и 3 черных шара, в третьем _ 6 белых и 2 черных шара. Извлечение шара из любого ящика равновероятно. Найти вероятность того, что извлечение шара было из 1-го ящика, если вынутый шар оказался черным.

6. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Вариант 10.

1. Из 8 первокурсников, 10 второкурсников и 5 третьекурсников на-до выбрать 3 студента на конференцию. Сколько способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

2. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

3. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

4. Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9, можно было бы утверждать, что среди 20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяет стандарту?

5. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Контроль признает пригодной стандартную продукцию с вероят-ностью 0,98 и нестандартную _ с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стандарту.

6. Торговая база получила 10000 электрических лампочек. Вероят-ность повреждения электрических лампочек в пути 0,0001. Определить вероятность того, что в пути повреждено 4 электрические лампочки.