5. Формула Бернулли. Формула Лапласа

5.1. У шести животных имеется заболевание, причем вероятность выздоровления равна 0,98. Какова вероятность того, что выздоровят только пятеро?

5.2. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров не более одного потребует ремонта.

5.3. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров хотя бы  один потребует ремонта.

5.4. В цехе шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора.

5.5. В цехе шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы.

5.6. В цехе шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент выключены все моторы.

5.7. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

5.8. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы два раза.

5.9. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье пять мальчиков.

5.10. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее трех, но и не более восьми.

5.11. Контролер проверяет партию из 6 деталей. Вероятность того, что деталь соответствует стандарту, равна 0,6. Найдите вероятность того, что среди них стандартных не менее 1 и не более 4.

5.12. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

5.13. Торговой сетью продано 7 телевизоров. Вероятность того, что телевизор выйдет из строя в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найдите вероятность того, что от 2 до 4 телевизоров потребуют гарантийного ремонта.

5.14. В парке посажено 7 деревьев. Вероятность того, что дерево приживется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что приживется от 4 до 6 деревьев.

5.15. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы?

5.16. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?

5.17. Произведено 100 выстрелов, причем вероятность попадания равна 0,1, а вероятность промаха равна 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена ровно 10 раз?

5.18. Произведено 100 выстрелов, причем вероятность попадания равна 0,1, а вероятность промаха равна 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена ровно 8 раз?

5.19. Произведено 100 выстрелов, причем вероятность попадания равна 0,1, а вероятность промаха равна 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена не менее 10 раз?

5.20. Произведено 100 выстрелов, причем вероятность попадания равна 0,1, а вероятность промаха равна 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена не менее 8 раз?

5.21. Произведено 100 выстрелов, причем вероятность попадания равна 0,1, а вероятность промаха равна 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена не менее 12 раз?

5.22. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

5.23. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз.

5.24. Вероятность выхода из строя за время Т одной лампочки равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 лампочек выйдут из строя не менее 20.

5.25. Вероятность выхода из строя за время Т одной лампочки равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 лампочек выйдут из строя менее 28.

5.26. Вероятность выхода из строя за время Т одной лампочки равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 лампочек выйдут из строя от 14 до 26.

5.27. Торговой сетью продано 100 телевизоров. Вероятность того, что телевизор выйдет из строя в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найдите вероятность того, что от 15 до 30 телевизоров потребуют гарантийного ремонта.

5.28. В парке посажено 400 деревьев. Вероятность того, что дерево приживется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что приживется от 300 до 350 деревьев.

5.29. Машинистка должна напечатать 100 страниц текста. Вероятность того, что на странице она допустит хотя бы одну ошибку, равна 0,2. Найти вероятность того, что число страниц с ошибками будет не менее 15 и не более 30.

5.30. Контролер проверяет партию из 225 деталей. Вероятность того, что деталь соответствует стандарту, равна 0,6. Найдите вероятность того, что среди них стандартных не менее 130 и не более 160.

5.31. Вероятность хотя бы одного появления события А при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

5.32. Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события А при одном испытании равна 0,3 и произведено пять независимых опытов.

5.33. Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события А при одном испытании равна 0,3 и произведено семь независимых опытов.

5.34. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в десятку хотя бы один раз?

5.35. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трех отказов?

5.36. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.

5.37. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

5.38. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?

5.39. При изготовлении отливок получается 20 % дефектных. Сколько необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с вероятностью не менее 0,95 была обеспечена программа выпуска изделий, для выполнения которой необходимо 50 бездефектных отливок?

5.40. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1?

6. Дискретные случайные величины

В следующих задачах составить ряд распределения случайной величины X, найти математическое ожидание и дисперсию.

6.1. Имеются четыре автоматические установки. Каждая из них в течение дня может выйти из строя с вероятностью p=0,3. Пусть X – число установок, проработавших до конца дня.

6.2. Оператор обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания оператора, равна для первого станка 0,7, для второго – 0,7, для третьего – 0,8, для четвертого – 0,8. Пусть X – число станков, не потребовавших внимания оператора в течение часа.

6.3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Пусть X – число выстрелов, произведенных охотником.

6.4. Из четырех одинаково упакованных ящиков только один содержит изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения нужного изделия. Пусть X – число вскрытых ящиков.

6.5. В партии из 20 принтеров имеется два неисправных. Для проверки случайным образом отбираются три принтера. Пусть X – число исправных принтеров среди трех отобранных.

6.6. Студент записан в четыре библиотеки. Вероятность того, что в какой-то из библиотек свободна необходимая студенту книга, равна 0,4. Пусть X – число библиотек, которые посетит студент.

6.7. Партия из 30 изделий содержит 5 бракованных. Из партии наугад взято 3 изделия. Пусть X – число бракованных изделий среди трех взятых.

6.8. Вероятность брака в данной партии деталей p=0,2. Пусть X – число бракованных изделий среди трех, выбранных из партии наугад. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти M(X), D(X).

6.9. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания из первого, второго и третьего орудия равны соответственно 0,6; 0,7 и 0,9. Каждое орудие стреляет по цели один раз. Пусть X – число попаданий в мишень.

6.10. Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности попадания мяча в корзину для первого, второго и третьего баскетболиста равны соответственно 0,95, 0,85 и 0,7. Пусть X – число попаданий мяча в корзину.

6.11. Имеются четыре камеры видеонаблюдения. Каждая из них в течение месяца может выйти из строя с вероятностью p=0,2. Пусть X – число камер, проработавших до конца месяца.

6.12. Сервисный центр обслуживает четыре установки. Вероятность того, что в течение месяца установка потребует сервисного обслуживания, равна для первой установки 0,6; для второй – 0,7; для третьей – 0,7; для четвертой – 0,6. Пусть X – число  установок, потребовавших сервисного обслуживания в течение месяца.

6.13. Преподаватель, чтобы выяснить, достоин ли студент отличной оценки, задает ему дополнительные вопросы, числом не более четырех. После неправильного ответа дополнительные вопросы прекращаются. Вероятность правильного ответа студента на один вопрос составляет 0,7. Пусть X – число вопросов, заданных преподавателем.

6.14. Из семи одинаково упакованных ящиков три содержат изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения нужного изделия. Пусть X – число вскрытых ящиков.

6.15. В партии из 15 мониторов имеется два неисправных. Для проверки случайным образом отбирают три монитора. Пусть X – число исправных мониторов среди трех отобранных.

6.16. Дважды брошена игральная кость. Пусть Х – разность между числом очков при первом и втором подбрасывании.

6.17. Партия из 40 изделий содержит 4 бракованных. Из партии наугад взято 3 изделия. Пусть X – число годных изделий среди трех взятых.

6.18. Вероятность брака в данной партии деталей p=0,1. Пусть X – число годных изделий среди трех, выбранных из партии наугад.

6.19. Бросают игральную кость до первого появления шестерки, но не более пяти раз. Пусть X – число подбрасываний кости в такой серии.

6.20. На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает, или запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Пусть X – число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

6.21. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад выбирают 3 работы. Пусть X – число оцененных на «отлично» работ среди выбранных.

6.22. Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине, равна 0,4. Магазин посетило четыре покупателя. Пусть X – число покупателей, совершивших покупку.

6.23. В группе, состоящей из 21 студента, 10 девушек. Составить ряд распределения случайной величины X – числа девушек из трех случайно отобранных студентов.

6.24. Из шести одинаково упакованных ящиков два содержат изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения нужного изделия. Пусть X – число вскрытых ящиков.

6.25. Стрелок осуществляет два выстрела по мишени, состоящей из трех концентрических кругов, за попадание в центральный круг дается 3 очка, в окружающее его кольцо – 2 очка, и за попадание во внешнее кольцо – 1 очко. Вероятность попадания в эти части равны соответственно 0,6; 0,1; 0,3. Пусть X – суммарное число набранных стрелком очков.

6.26. Дважды брошена игральная кость. Пусть Х – сумма выпавших очков.

6.27. В магазин поступила обувь с двух фабрик в отношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Пусть X – число купленных пар обуви, произведенных первой фабрикой.

6.28. Вероятность брака в данной партии деталей p=0,05. Пусть X – число бракованных изделий среди трех, выбранных из партии наугад.

6.29. Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающих устройства. Вероятность того, что устройство сработает при аварии, для первого из них равна 0,9; для второго – 0,6; для третьего – 0,4. Пусть X – число устройств, сработавших при аварии.

6.30. Прыгуну с шестом предоставляется 4 попытки для преодоления установленной высоты. Вероятность того, что спортсмен преодолеет данную высоту, в каждой  попытке равна 0,9. Пусть X – число предпринимаемых спортсменом попыток.

7. Непрерывные случайные величины

Найти c, M(X), D(X), F(x), медиану и моду для заданной плотности распределения случайной величины X:

..............................

8. Нормальное распределение

8.1. Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием 48 и средним квадратическим отклонением, равным 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

8.2. Известно, что средний расход минеральных удобрений на один гектар пашни составляет 60 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода составляет 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить: а) диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98; б) вероятность того, что на некоторое поле, площадью 1 га, попадет более 75 кг удобрений.

8.3. На кондитерской фабрике контролируется вес автоматически изготавливаемой шоколадной плитки. Вес плитки является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 100 г. Фактически вес изготавливаемых плиток не менее 82 и не более 118 г. Найти вероятность того, что вес наугад взятой шоколадной плитки: а) больше 110 г; б) не меньше 95 г.

8.4. Случайная величина Х – ошибка измерительного прибора – распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 3 мк. Систематическая ошибка весов отсутствует. Найти вероятность того, что в результате одного измерения ошибка будет принадлежать интервалу  (0; 2,4).

8.5. Спрос на лекарственные препараты сердечнососудистой группы имеет нормальное распределение. Анализ показал, что в летний период он составляет в среднем 10 тыс. рублей в месяц, среднее квадратичное отклонение равно 1,2 тыс. рублей в месяц. Найти вероятность того, что в августе этого года аптекой будет реализовано таких лекарств на сумму от 11 до 12 тыс. рублей.

8.6. Ошибка измерения подчинена нормальному закону с параметрами a = 50 мм и s   = 10 мм. Найти вероятность того, что измеренное значение будет отклоняться от истинного не более чем на 20 мм.

8.7. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание 175 см, s = 10 см. Записать формулу плотности вероятности. Найти вероятность того, что один из наудачу выбранных мужчин  будет иметь рост более 180 см.

8.8. Деталь изготавливается на станке с систематической ошибкой 3, среднеквадратической ошибкой 4 и считается годной, если ее отклонение от номинала менее 1,2. Найти вероятность того, что три наудачу взятые детали из пяти будут годными.

8.9. Коробки с конфетами упаковывают автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Найти среднеквадратичное отклонение, если 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Масса коробок распределена по нормальному закону.

8.10. Анализ затрат предприятия на электроэнергию показал, что месячные расходы являются нормально распределенной случайной величиной со среднеквадратичным отклонением 20 тыс. кВт/ч в месяц. Вероятность попадания этой случайной величины в интервал, симметричный относительно запланированных затрат от 200 до 280 тыс. кВт/ч в месяц равна 86 %. Найти вероятность попадания затрат в интервал от 260 до 300 тыс. кВт час в месяц.

8.11. Пирожные, выпускаемые цехом, считаются высшего качества, если отклонение их веса от номинала не превосходит 26 г. Случайные отклонения веса пирожного подчиняются нормальному закону со среднеквадратическим  отклонением, равным 20 г. Систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число пирожных высшего качества среди наугад выбранных пяти.

8.12. Определить среднеквадратичное отклонение затрат на производство продукции, если колебания затрат по сравнению  с планируемыми распределены по нормальному закону, и, с вероятностью 95 %, не выходят за пределы ± 20 тыс. рублей.

8.13. Отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение s = 0,4 мм. Какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 80 %?

8.14. Отклонение размера детали от стандарта представляет собой случайную величину, распределенную нормально, со среднеквадратическим отклонением s = 0,2 мм. Найти процент деталей, отклоняющихся от математического ожидания по модулю не более чем на 0,05.

8.15. Браковка шариков производится следующим образом: если шарик проходит через отверстие диаметра d 2 , но не проходит через отверстие диаметра d1  < d2 , то шарик считается годным. Диаметр шарика – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием M (x) = d1 + d2     и s = a(d  - d  ) , где параметр a (0 < a < 0,5) определяет точность изготовления шариков. Какую точность изготовления следует выбрать,  чтобы брак составлял не более 2% всей продукции.

8.16. Время, затраченное на один телефонный разговор, является случайной величиной с математическим ожиданием 5 минут. Телефонной компанией установлено, что 20 % разговоров имеют длительность от 2 до 3 минут. Считая распределение случайной величины нормальным, найти вероятность того, что длительность разговора попадет в интервал от 7 до 8 минут.

8.17. Изделие считается годным, если отклонение его размера от номинала по абсолютной величине меньше 7 мм. Считая, что случайные ошибки изготовления распределены нормально, со средним квадратичным отклонением среднее количество годных изделий среди 100 изготовленных. s = 4 мм, найти

8.18. Многолетним исследованием установлено, что содержание вредных примесей в воде изучаемого озера является нормально распределенной случайной величиной с параметрами М х   = 4 мг м3 и s   = 0,7 мг. Определить вероятность того, что содержание вредных веществ превысит 6 мг/м3

8.19. Автомат производит расфасовку сахарного песка в пакеты. Систематических отклонений от заданного веса не наблюдается. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 90 г. Найти функцию распределения случайной величины. Какова вероятность того, что расфасовка будет произведена с ошибкой, превосходящей по абсолютной величине 120 г.

8.20. Средний расход муки для приготовления 100 блинчиков 3 кг. Считая расход муки случайной величиной с нормальным распределением, найти среднеквадратическое отклонение, если известно, что с вероятностью 0,96 расход составляет от 2,7 до 3,3 кг. С какой вероятностью расход муки окажется  более 3,2 кг?

8.21. Обследованием потребительской корзины на территории данного муниципального образования установлено, что среднегодовой уровень потребления молока составляет 120 кг, при s  = 2,0  кг. С какой вероятностью можно ожидать, что средний уровень потребления молока в следующем году будет составлять не менее 118 кг и не более 126 кг, если считать потребление молока нормально распределенной случайной величиной.

8.22. При изучении потребительского спроса установлено, что средний размер ежедневной выручки магазина является случайной величиной, распределенной по нормальному закону (a = 50 ден. ед., s = 2,0 ден. ед.). С какой вероятностью выручка магазина будет не менее 55 ден. ед., с какой вероятностью выручка магазина будет менее 40 ден. ед.?

8.23. Одна таблетка поливитаминов содержит 60 мг витамина С, σ = 3 мг. Определить вероятности того, что в случайно взятой таблетке: а) не менее 54 мг витамина С; в) не более 62 мг; с) не менее 38, но не более 66 мг витамина С.

8.24. Содержание влаги в сырье растительного происхождения с вероятностью 0,9974 находится в интервале (20±3) %. Проверяют случайно взятые пять контейнеров с растительным сырьем. Найти вероятность того, что влажность во всех 5 контейнерах не превосходит 19 %.

8.25. Рост мужчин от 18 до 27 лет в данной местности имеет среднее значение 175 см и σ = 6 см. Какова вероятность того, что из наудачу взятых 10 новобранцев не менее двух будут выше 185 см?

8.26. Стеклянную ампулу считают стандартной, если отклонение ее длины от номинала не превосходит по модулю 1,15 мм. Технология изготовления ампул такова, что случайные отклонения длины ампул от номинала подчиняются нормальному закону, причем σ = 1 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число стандартных ампул в партии из 4000 штук.

8.27. Систематической ошибки весы не имеют. 90 % случайных ошибок по модулю не превосходят 10 мг. Сделано 2 независимых взвешивания. Найти вероятность того, что ошибка первого взвешивания меньше – 3 мг, а второго – больше 5 мг.

8.28. Весы имеют среднеквадратическую ошибку 30 мг, систематические ошибки отсутствуют. Сколько необходимо произвести взвешиваний, чтобы с вероятностью не более 0,9 ошибка хотя бы одного из них не превосходила по абсолютной величине 7,5 мг?

8.29. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами, а=0, σ = 1. Что больше  P(-0,5<X<-0,1) или P(1<X<2)?

8.30. Случайная величина Х подчинена нормальному закону, а = 10, σ = 5. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,5  попадает случайная величина Х.

8.31. Случайная величина Х – ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону, σ = 3 мк. Систематическая ошибка весов отсутствует. Найти вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка хотя бы один раз окажется в интервале от 0 до 2,4.

8.32. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание 175 см, s = 10 см. Найти вероятность того, что ни один из трех наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.

8.33. Среднеквадратическая ошибка весов 20 мг, систематическая ошибка равна 0. Сколько нужно взвесить один и тот же предмет, чтобы с вероятностью не менее 0,98 среднеарифметическая ошибка попала в интервал (-3; 3).

8.34. В нормально распределенной совокупности 15 % значений случайной величины Х меньше 12 и 40 % значений Х больше16,2. Найти среднее значение и среднеквадратичное отклонение для данного распределения.

8.35. Случайная величина распределена по нормальному закону. Найти P(x1  < X  < x2 ), где x1  и x2   – абсциссы точек перегиба кривой Гаусса.

8.36. Измерительный прибор имеет среднее квадратическое отклонение ошибки измерений 11, систематические ошибки отсутствуют. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью не более 0,9 ошибка хотя бы одного из них не превосходила по абсолютной величине 3,4?

8.37. Вес взрослых людей  имеет среднее значение 75 кг и s = 16 кг. Какова вероятность того, что из наудачу взятых 10 человек не менее 2 будут весить больше 80 кг?

8.38. Систематическая ошибка весов +2 мг. Опытным путем установлено, что 80 % ошибок попадает в интервал (-3;7). Найти σ, а также вероятность того, что при двух независимых взвешиваниях получим ошибки разных знаков, причем каждая из них по модулю  менее 3 мг.

8.39. Систематической ошибки весы не имеют. Вероятность попадания случайной ошибки в интервал (0; 3) мг равна 0,4. Найти среднеквадратическую ошибку весов.Найти вероятность того, что при трех независимых взвешиваниях будем иметь хотя бы одну ошибку меньше -1.

8.40. Стальной прут выдерживает в среднем растягивающее усилие в 6000 кг; σ = 200 кг. Сколько прутьев надо подвергнуть испытанию, чтобы с вероятностью не менее 0,8 хотя бы один из них выдержал не менее 6700 кг?