Пример 2.10.1

Выше шла речь о локальном экстремуме функции n переменных. Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области. Говорят, что функция z = f (X) имеет в точке X⁰ заданной области D глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство f(X) ≤ f(X⁰) или соответственно выполняется для любой точки X € D. 
Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция z = f (X) достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области (теорема Вейерштрасса).

Граница области D аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных x₁, x₂, ..., x_n. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции z = f (x₁, x₂, ..., x_n ) при условии, что переменные x₁, x₂, ..., x_n удовлетворяют, уравнениям

Предполагается, что функции f и φ_i , имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (2.32) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи (2.32), функция z = f (X) имеет условный максимум (минимум), если неравенство f(X⁰) ≥  f(X) (f(X⁰) ≤  f(X)) имеет место для всех точек X, координаты которых удовлетворяют уравнениям связи. 
Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.
Один из способов определения условного экстремума применяется в том случае, если из уравнений связи (2.32) m переменных, например x₁, x₂, ..., x_n, можно явно выразить через оставшиеся n - m переменных:

Подставив полученные выражения для x_f в функцию z, получи
мz_i = f(ψ_i (x_{m + 1} , ..., x_n ), ..., ψ_m (x_{m + 1} , ..., x_n ), x_{m + 1} , ..., x_n )

или

Задача сведена к нахождению локального (глобального) экстремума для функции (2.34) от n - m переменных. Если в точке функция (2.34) имеет экстремум, то в точке функция z = f (x₁, ..., x_n ) имеет условный экстремум.

Пример 2.10.2

Метод множителей Лагранжа

Другой способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных x₁, x₂, ..., x_n, что и целевая функция z.
Пусть решается задача определения условного экстремума функции z = f (X) при ограничениях (2.32) 
Составим функцию

(2.38)

которая называется функцией Лагранжа. X, — постоянные множители (множители Лагранжа). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если f (x₁, x₂, ..., x_n ) — доход, соответствующий плану X = (x₁, x₂, ..., x_n ), а функция φ_i(x₁, x₂, ..., x_n ) — издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то X, — цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(Х) — функция n + m переменных (x₁, x₂, ..., x_n , λ₁, λ₂, ..., λ_n ). Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

(2.39)

Легко заметить, что , т.е. в (2.48) входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z = f (X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума — исследования знака второго дифференциала d²L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения Δx_i - связаны соотношениями

(2.40)

полученными путем дифференцирования уравнений связи. Рассмотрим пример.

Пример 2.10.3

Если число переменных n = 2, нелинейные задачи можно решать геометрически. Ограничения должны быть записаны в виде неравенств

а целевая функция иметь вид

Как и в случае геометрического решения задач линейного программирования, сначала необходимо построить область допустимых решений (ОДР) — множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам (2.41). Но в отличие от задач линейного программирования здесь ОДР не обязательно будет выпуклой и может быть даже разрывной. Экстремум функции может достигаться и внутри области, и на границе. После построения ОДР следует записать уравнения линий уровня целевой функции — множество точек плоскости, в которых целевая функция (2.42) постоянна: f(x₁, x₂ ) = C, и определить направление возрастания (убывания) целевой функции, построив, например, линии уровня для разных значений С. 
Затем, перемещая линию уровня в нужном направлении в ОДР, найти точки области, в которых целевая функция принимает оптимальное значение.

Пример 2.10.4