Предел последовательности. Основные определения и примеры.

Определение 22 (определение последовательности).Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N® R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую последовательность {x_n}. Примеры числовых последовательностей:

Пример 16. 1) 1,2,..., n,...; 
2) 1,-1,1,-1,...,(-1)ⁿ,...;
3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Определение 23.

1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nО N x_nЈ M (x_nіm).
2. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c > 0 такое, что |x_n| Јc для любого nО N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.

Пример 17.

1. 1,2,...,n,... — ограничена снизу, но неограничена сверху;
2. {1/n} – ограничена, так как 0< x_nЈ 1 ;
3. {(-1)ⁿ} – ограничена

Определение 24. Последовательность x_n называется неограниченной, если

Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: x_n = n.

Понятие предела числовой последовательности хорошо иллюстрируется на следующем примере. Пусть задана последовательность x_n = 1/n. Изобразим ее члены точками на числовой оси (рис. 12).

Можно заметить, что члены последовательности с ростом номера n как угодно близко приближаются к 0. При этом величина x_n становится все меньше и меньше. Очевидно, что пределом данной последовательности будет 0.

Дадим строгое определение предела числовой последовательности.

Определение 25 (определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности x_n, если

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение 26 (определение предела последовательности). Число A называется пределом x_n, если

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности " (вместо слова "для любого") и квантор существования $ (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается lim_n®Ґ x_n= A или x_n® A при n® Ґ. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Пример 18. Пусть x_n = 1/n, покажем, что

Пример 19.

x_n = .

lim_n ® Ґ = 1

 n > N |-

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|<eравносильно следующему A- e < x_n < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Определение 27 (бесконечно малая последовательность).Бе-
сконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть

Пример 20. Последовательность x_n = 1/n

является бесконечно малой последовательностью.

Определение 28 (бесконечно большая последовательность). x_n – бесконечно большая последовательность, если " c>0 $ N: " n>N |x_n|>c.

Пример 21. Последовательности n, 2ⁿ являются бесконечно большими.

Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.

Пример 22. Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x_2k-1 = 2k-1, x_2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x_2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x_2k = 1/(k+1).

Очевидно следующее утверждение.

Лемма 1. Если a_n — бесконечно малая последовательность, то 1/ a_n —бесконечно большая последовательность.

Пример 23. Пусть a_n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность b _n = 1/a _n = n будет бесконечно большой.

Теорема 5. Для того чтобы последовательность {x_n} имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид

Справедливы следующие свойства бесконечно малых последовательностей, которые легко получить из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 6. (свойства бесконечно малых последовательностей)

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Свойства предела последовательности.

Общие свойства.

Определение 29. Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

Теорема 7. (свойства предела последовательности)

1. Финально постоянная последовательность сходится.
2. Если последовательность сходится, то предел единственен.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

1. Если x_n = A при n>N, то для любой окрестности U(A) имеем x_nО U(A) при n>N, то есть lim _n®Ґx_n = A.
2. Пусть lim_n®Ґx_n = A₁ и lim_{n® Ґ}x_n = A₂, A₁№ A₂, тогда выберемe - окрестности точек A₁, A₂, так чтобы они не пересекались. В качестве e можно взять число e = 1/2|A₁-A₂|. По определению предела $ N₁,N₂, что при n>N₁ x_nОU(A₁), а при n>N₂ x_nО U(A₂). Следовательно, при n> max{N₁,N₂} x_nО U(A₁)З U(A₂), что невозможно, так как U(A₁)З U(A₂) = Ж.
3. Пусть lim_n®Ґx_n = A, положим в определении предела e = 1, тогда " n>N |x_n-A|<1 значит |x_n|<|A|+1. Выберем C>max{|x₁|,...,|x_N|,
   |A|+1}, тогда получим, что при " nО N |x_n|< C.

Арифметические операции над последовательностями.

Определение 30. Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n№ 0 называются соответственно последовательности

Справедлива теорема

Теорема 8 (предел суммы, произведения, частного). Пусть

1. lim_n®Ґ(x_n± y_n) = A± B;
2. lim_n®Ґx_ny_n = AB;
3. lim_n®Ґx_n/y_n = A/B, при B№ 0.

Доказательство данной теоремы опирается на результаттеоремы 6.

Предел и неравенства.

Теорема 9. Если

Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности x_n, y_n, z_n удовлетворяют при любом n>N условию: x_n Ј y_n Ј z_n, причем

Доказательство. Согласно определению предела " e > 0 $ N1:" n>N1 выполняется A- e < x_n < A+ e " e > 0 $ N2: " n > N2, A-e< z_n < A+ e Если N = max(N1,N2), тогда при n>N получим A-e<x_nЈ y_n Ј z_n < A+ e. Следовательно,



Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a,b], и $ lim_n ® Ґx_n = c, то c О [a,b].

Фундаментальные последовательности.

Определение 31. Последовательность

x_n называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |x_n-x_m|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Определение 32 (последовательность Коши).Последователь
ность

x_n называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " p-натурального, |x_n+p-x_n| < e

Теорема 11 (Критерий Коши). Числовая последовательностьсходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример 24. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1)ⁿ не имеет предела . Очевидно, что |x_n-x_n+1| = 2, поэтому если выбрать e = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

$ e>0, $ n>N, $ m>N, |x_n-x_m|іe.

Пример 25. Рассмотрим последовательность

x_n = 1+1/2+1/3+....+1/n Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |x_n+p - x_n| = 1/(n+1)+ ... + 1/(n+p) >p/(n+p) , то при p=n |x_n+p - x_n|>n/2n = 1/2 = e. Очевидно, что определениефундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.

Монотонные последовательности.

Определение 33.

1. Последовательность x_n возрастает (убывает), если " nО N x_n<x_n+1(x_n>x_n+1)
2. x_n не убывает (не возрастает), если " nО N x_n Ј x_n+1 (x_n іx_n+1)

Теорема 12 (теорема Вейерштрасса). Неубывающая последовательность сходится Ы когда она ограничена сверху.

Доказательство. Необходимость. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Достаточность. Пусть x_n — ограниченная сверху последовательность.
Существует S = sup x_n, то есть " e > 0 $ x_N: x_N > S - e. Так как последовательность неубывающая, то

" n > N Ю x_n і x_N Ю S - e < x_N Ј x_n Ј S < S + e. Следовательно, |x_n - S| < e.



Пользуясь теоремой Вейерштрасса, можно доказать, что

lim _{n® Ґ}(1+1/n)ⁿ = e. Доказательство данного факта можно посмотреть в книге В.А.Зорича " Математический анализ" часть I.

Пример 26. Рассмотрим последовательность x_n = . Возрастание x_n с ростом n следует непосредственно из формулы для x_n. Докажем, что x_n<2 " n. Доказательство можно провести по индукции. Заметим, что

x1<2, предположим, что x_n<2 и покажем, что x_n+1<2. Из формулы для x_n следует, что x_n+1 = , учитывая, что x_n<2, получим, что x_n+1<2. Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел данной последовательности. Обозначим его через A. Для определения A перейдем к пределу в рекуррентном соотношении x_n = +1. Тогда A = , отсюда A = 2. То есть lim _n® Ґx_n = 2.

Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.

Определение 34 (определение подпоследовательности).Как 
мы уже знаем (см.определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество n_k, k =1,2,..., n_k<n_k+1, то получим подпоследовательность x_nk.

Пример 27.

x_n = {n}=1,2,3,...,n,... x_nk = {1,3,...,2n-1,...}

Определение 35 (определение частичного предела). Предел
любой подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом данной последовательности.

Определение 36. Частичный предел последовательности называется предельной точкой данной последовательности.

Иначе говоря справедливо следующее определение предельной точки последовательности.

Определение 37 (определение предельной точки). Точка

aО R называется предельной точкой последовательности x_n, если в любой e – окрестности этой точки содержится бесконечно много элементов последовательности x_n.

Замечание. Если последовательность сходится, то по теореме7, она имеет единственную предельную точку. Если

x_n не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек).

Пример 28. Рассмотрим последовательность

x_n = (-1)ⁿ. Так как x2k = 1, x2k+1 = -1, то данная последовательность имеет два частичных предела, или иначе говоря, две предельные точки. Если последовательность ограничена сверху, то множество всех частичных пределов тоже ограничено сверху. Можно доказать, что это множество обязательно содержит максимальный элемент. Этот максимальный элемент называется верхним пределом последовательности и обозначается lim_n®Ґx_n.

Если последовательность не ограничена сверху, то

Аналогично определяется lim_n®Ґx_n – нижний предел последовательности. Если последовательность не ограничена снизу, то

Определение 38. Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности.

Верхним пределом последовательности называется наибольший частичный предел последовательности.

Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.

Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательности и сравнивают их пределы.

Пример 29. Пусть дана последовательность x_n = n^(-1)n, nО N. Так как x_2k = 2k, x_2k+1 = 1/(2k+1), то lim_n®Ґx_n = +Ґ. и lim_n®Ґx_n = 0.

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.