Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число AО Rназывается пределом функции f(x) в точке a или при x® a и это обозначается следующим образом lim_x ® af(x) = A, если

Пример 1. Доказать, что lim_x® 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей").Число A О R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a, 
если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность  точки a такая, что f() М U(A).

Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Определение 5 (предел функции по Гейне). A=lim_x ® af(x) 
означает, что

Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x® 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности x_n1 = 1/p n, x_n2 = 1/(p/2+2p n), которые обе сходятся к нулю при n®Ґ. Тогда sin x_n1 = sin p n=0, sin x_n2 = sin (p/2+2p n) = 1, Таким образом, f(x_n1) и f(x_n2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.

Пример 3. Рассмотрим функцию Дирихле

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|<e равносильно двойному A-e<f(x)<A+e. Число A есть предел функции f(x) при x® a, если для любого e>0 найдется такая d -окрестность точки a, что для всех x№ a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-e<f(x)<A+e (см. рис. 14).

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.

Определение 6 (предел функции в бесконечности).

Определение 7.

Аналогично формулируются определения при x® ±Ґ, а также определения, когда A = ±Ґ.

Замечание. Изученное понятие предела последовательностиможно рассматривать как частный случай предела функции при x® +Ґ.

Пример 4. Доказать, что lim_x ® 11/(x-1)² = + Ґ

" e > 0 $ d(e)>0: " x 0<|x-1|< d выполняется 1/(x-1)²> e 
1/|x-1|2>1/ d²> e

Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 2^1/x, при x® 0. 
lim_x ® 0-02^1/x = lim_x ® 0-02^- Ґ = 0 
lim_x ® 0+02^1/x = lim_x ® 0+02^+ Ґ = + Ґ

Пределы не равны, следовательно lim_x® 0 2^1/x не существует.

Свойства предела функции.

Теорема 1 (свойства предела функции).

1. Если $ lim_x ® af(x) = A , то найдется окрестность точки a  такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.
2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то lim_x ® af(x) = A
3. Если lim_x ® af(x) = A1 и lim_x ® af(x) = A2, то A1 = A2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.

Теорема 2 (арифметические операции над пределами).Если lim_x ® af(x) = A, lim_x ® ag(x) = B, то

1. lim_x ® a[f(x)± g(x)]=A± B,
2. lim_x ® af(x)g(x) = AB
3. lim_x ® af(x)/g(x) = A/B, B № 0

Эта теорема непосредственно следует из соответствующейтеоремы о пределах последовательностей.

Теорема 3 (предел и неравенства). Пусть f:E® R, g:E® R, h:E® R

1. Если lim_x ® af(x) = A, lim_x ® ag(x) = B и A<B, то $ : " xО f(x)<g(x).
2. Если для " x О E f(x) Ј g(x) Ј h(x) и существует lim_x ®af(x) = lim_x ® ah(x) = A. то существует lim_x ® ag(x) = A

Пример 6. (Первый замечательный предел)

Доказательство.

1. Покажем, чтоcos ²x<(sin x)/x<1 при 0<|x|<p/2.Так как cos²x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x<p/2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора  OCD,треугольника D OAB и сектора  OAB, найдем

   

   Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.
2. Из выше полученного результата следует, что|sin x|Ј|x| " xО R.
3. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствахвытекает, чтоlim _x® 0sin x = 0.
4. Теперь покажем, чтоlim_x® 0(sin x)/x = 1.Cчитая, что |x|<p/2, в силу полученного в 1) неравенства имеем1-sin²x<sin x/x<1.Но lim_x® 0(1-sin ²x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, чтоlim_x® 0(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

1. lim_x® 0(sin 6x)/4x;
2. lim_x® 0(1-cos x)/x².

Решение.

Пример 8. (Второй замечательный предел)

Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А.
"Математический анализ" ч.1.

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

Пример 9. Найти

1. lim_{x® Ґ}(1+5/x)^3x;
2. lim_x® 0(1-3x)^2/x.

Решение.

1. lim_x® Ґ(1+5/x)^3x = lim_x® Ґ (1+5/x)^{(x/5)(5/x)(3x)} = lim_x® Ґ(1+5/x)^(x/5)15 = e15;
2. lim_x® 0(1-3x)^2/x = lim_x® 0(1-3x)^{(-1/(3x))(-3x) · (2/x)} = lim_x® 0(1-3x)^{(-1/(3x))(-6)} = e^-6.

Упражнение 1. Доказать теоремы 1,2,3.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 8 (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если

Пример 10. 
f(x) = 1/x, x ® Ґ 
f(x) = x2, x ® 0 
f(x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равныйA, то функция a (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точкеa. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+a, где lim_x® aa (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.
3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует lim_x® aa(x) = 0, следует, что " e>0 $ d₁(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d₁ выполняется неравенство
|a(x)|< e/2. Аналогично, из существования предела lim_x® a b(x) = 0, следует " e>0 $ d₂(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d₂ 
выполняется неравенство |b(x)|< e/2. Тогда " x: 0<|x-a|<d = min{d₁,d₂} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

Определение 9 (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x№ a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® Ґ. Приведем его в символической записи:

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x® a Ы1/a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11. y = x² – бесконечно малая функция при x ® 0 , а y = 1/x² – бесконечно большая при x ® 0.

Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x₁,x₂, удовлетворяющих условию

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( lim_x ® af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x® Ґ(±Ґ).

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E ® R

1. Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).
2. Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)Јf(x2) (f(x1)і f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

Определение 13. Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M(m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

1. " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m);
2. " e >0 $ x₀О X: f(x₀)>M-e (f(x)<m+e) (см. рис. 16).

   
   

Предположим, что числа (или символы ±Ґ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E® R имела предел при x® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.