Сравнение функций.

Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|Ј c |g(x)| при |x-a|<d, x№ a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.

Данное определение переносится и на случай, когда x® Ґ, x® ±Ґ.

Пример 12.

1. Так как |1/x²| Ј |1/x| при |x| і 1, то 1/x² = O(1/x) при x ® Ґ;
2. 1/x = O(1/x²) при x® 0 так как |1/x|Ј 1/x² при |x|Ј 1.

Запись f=O(1) при x® a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x® a Ю f и g — одного порядка при x® a.

Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являются бесконечно малыми одного порядка при x® a , так как

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) иg(x) называются эквивалентными при x® a, если $ f(x): f(x) = f(x)g(x), где lim_x® af (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x® a, если предел их отношения при x® a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов.

Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x® a Тогда если существует предел

Пример 14. Найти предел

Решение. Для решения воспользуемся асимптотическими равенствами (1), (2)

Определение 18 (символ о). Говорят, что функция f является бесконечно малой по сравнению с g при x® a, и пишут f=o(g), x® a, если выполнено соотношение f(x) = a(x)g(x), где lim_x® aa(x) = 0. Иначе говоря lim_x® a f(x)/g(x) = lim_x® a a(x) = 0.

Пример 15.

1. x2 = o(x) при x ® 0, так как lim_x ® 0x2/x = lim_x ® 0x = 0;
2. 1/x2 = o(1/x) при x ® + Ґ так как lim_x ® Ґx/x2 = lim_x ® Ґ1/x = 0

Справедлива теорема.

Теорема 8. Для того, чтобы функции f(x), g(x) были эквивалентными при x® a необходимо и достаточно, чтобы при x® a выполнялось хотя бы одно из условий

Заметим, что функции g(x) в первом условии и соответственно функция f(x) во втором называются главной частью функции f(x) (g(x)).

Пример 16.

1. Функция x – главная часть функции sin x при x® 0, так как sin x = x+o(x) при x® 0;
2. Если P_n(x) = a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, a_n№ 0, то функция a_nxⁿявляется главной частью P_n(x) при x® Ґ, так как P_n(x) = a_nxⁿ+o(xⁿ) при x® Ґ.

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов.

Пример 17. Найти предел

Решение. Используя асимптотическое равенство (3) иасимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) приx® 0, найдем

Определение 19. Если f=o(g) при x® a и g(x) - бесконечно малая при x® a, то говорят, что f(x) - бесконечно малая более высокого по сравнению с g(x) порядка при x® a.

Пример 18. x²- бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x при x® 0

Определение 20. Если f(x), g(x) -бесконечно большие при x® a и f=o(g) при x® a, то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f .

Пример 19. Функции f=x3+x2+2x+1, g=x4+3x2 -бесконечно большие при x® Ґ, и так как lim_{x® Ґ} f/g=0, то g — бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f

Отметим некоторые правила обращения с символами o(), O().

Предложение 2.

1. o(f)+o(f) = o(f)
2. o(f) тем более есть O(f)
3. O(f)+O(f) = O(f)
4. Если g№ 0, то o(f)/g=o(f/g), O(f)/g=O(f/g).

Найти пределы функций:

1. lim_x® 1(4x5+9x+7)/(3x6+x3+1);
2. lim_x® 2(x3+3x2-9x-2)/(x3-x-6);
3. lim_x® 0(-3)/x;
4. lim_x® -Ґ(-5x);
5. lim_x® +Ґ()/(4x+2);
6. lim_x® Ґ5^2x/(x+3);
7. lim_x® p/6(sin (x-p/6))/(-2cos x);
8. lim_x® 0(tg x-sin x)/x3;
9. lim_x® 0(1-cos x)/x2;
10. lim_x® Ґ(1+1/x)^7x;
11. lim_x® Ґ(x/(1+x))^x;
12. lim_x® 0ln(1+x)/(3^x-1);
13. lim_x® 0(e4x-1)/tg x;
14. lim_x® e(ln x-1)/(x-e);
15. lim_x® Ґ((2x2+3)/(2x2+5))^8x2+3;
16. lim_x® 1(1+sin p x)^ctg p x.