Понятие производной

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При Dx<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит,

Геометрический смысл производной

Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точкеM этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_D x® 0f (D x) = f ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Справедливо утверждение:

Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке 
M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).

Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.

Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x₀ имеет вид

Пример 3. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x²-x+5 при x = -0,5.

Решение. Найдем производную в точке x = -0,5

h4>Дифференцируемость функции Пусть функция определена на интервале (a,b).

Определение 4 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение Dy этой функции в точке x представимо в виде

В дальнейшем будем считать, что a(0) = 0. В этом случае функция a(x) будет непрерывной в точке D x = 0. Равенство 1можно переписать иначе, так как функции a (D x), D x - бесконечно малые в точке D x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому

Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функциядифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на D x№ 0 получим

Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел

Пример 4. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0 :

Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если 
функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim_D x® 0D y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.
2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то естьu(x)± v(x))' = u'(x)± v'(x).
3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

   Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

   (cu(x))' = cu'(x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v2(x)при условии, что v(x)№ 0.

Дифференцирование сложной и обратной функций

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}.

Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема

Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)№ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y) и для ее производной справедлива формула

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f^-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть D y№ 0 приращение для y, а D x - соответствующее приращение обратной функции x = f^-1(y). Тогда справедливо равенство

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона a касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f^-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона bтой же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона a+ b=p/2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tgb = 1/tg a.

Пример 6. Найти x'_y, если y = 2x³+3x⁵+x Имеем y' = 6x²+15x⁴+1, тогда x'_y = 1/y'_x = 1/(6x²+15x⁴+1).

Таблица производных простейших элементарных функций

1. (u^a(x))' = a u^a-1(x)u'(x), в частности,(1/u(x))' = -u'(x)/u2(x), ()' = u'(x)/2;
2. (log_au(x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a№1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x);
3. (a^u(x))' = a^u(x)ln a u'(x) при 0<a№1, в частности, (e^u(x))' = u'(x)e^u(x);
4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x);
5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x);
6. (tg u(x))' = u'(x)/cos²u(x) x№ p/2+p n, n=0,+-1,...;
7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin²u(x) x№ p n, n=0,+-1,...;
8. (arcsin u(x))' = u'(x)/, -1<u(x)<1;
9. (arccos u(x))' = -u'(x)/, -1<u(x)<1;
10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u²(x));
11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u²(x)).

1. (sh x)' = ch x;
2. (ch x)' = sh x;
3. (th x)' = 1/ch² x;
4. (cth x)' = -1/sh² x.

Пример 7. Найти y', если

1. y(x) = x³arcsin x.
2. y(x) = ln sin (x²+1).
   y' = (2xcos(x2+1))/sin(x2+1) = 2x ctg(x2+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Производная степенно-показательной функции

При этих ограничениях функция z(x) = ln y(x) = g(x)ln f(x) будет дифференцируемой в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции. Используя правило дифференцируемости произведения, найдем

Пример 8. Найти y', если y = (sin x)^x. Найдем