Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точкуM(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точкеM, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольникаMKN

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

1. d c = 0;
2. d(c u(x)) = c d u(x);
3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);
4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);
5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v²(x).

Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = D x, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

Производные и дифференциалы высших порядков

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

Пример 9. Пусть y = e^x(x²-1). Найти y⁽¹⁰⁾. Положим u(x) = e^x,
v(x) = (x²-1). Согласно формуле Лейбница

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значениеd(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d²y.

Таким образом,

Определение 7. Значение d(d^n-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dⁿy.

Найдем выражение для d²y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = f (t), то есть является функцией переменной t.

1. пусть x = f (t), тогдаd2 = d (dy)|d x = dx = d (f'(x)dx)|d x = dx == {d (f'(x))dx+f'(x)d(dx)}|d x = dx = f''(x)(dx)²+f'(x)d2x.Итак,

   d2y = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x.

   (7)

2. пусть x - независимая переменная, тогдаd2y = f''(x)(dx)²,так как в этом случае d(dx) = (dx)'d x = 0.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).

Производная параметрически и неявно заданных функций

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = y'(t)dt, dx = f'(t)dt. Поэтому

Пример 10. Функция задана параметрически

Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение F(x,y) = 0, и затем выразить нужную производную.

Пример 11. Найти y''(x), если :

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f(c) =0.

Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис.23): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема 6 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что

Доказательство. Введем новую функцию

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.24. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)),B(b,f(b)) кривой y = f(x), а f'(c) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C(c,f(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.

Следствие 2. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.

Данное следствие автоматически следует из формулы (8).

Правило Лопиталя

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x)№ 0,

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида Ґ/Ґ.

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® Ґ. Попробуем применить правило Лопиталя

Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и Ґ/Ґ часто встречаются неопределенности видов: 0· Ґ, Ґ-Ґ, 1^Ґ, 0^Ґ, Ґ⁰. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и Ґ/Ґ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1^Ґ, 0^Ґ, Ґ⁰. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

Пусть y = f(x)g(x), где lim_x® af(x) = 0, а lim_x® ag(x) = Ґ. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

1. lim_x® 0(e^ax-e^-2ax)/ln (1+x) = 0/0= lim_x® 0(ae^ax+2ae^-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
2. lim_x® Ґ(e1/x2-1)/(2arctg x2-p) = 0/0= lim_x® Ґ(-2x^-3e1/x2)/(4x/(1+x4)) = lim_x® Ґ-e1/x2(1+x4)/2x4 = -1/2.
3. lim_x® 1(1/ln x-1/(x-1)) = Ґ-Ґ = lim_x® 1 (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = lim_x® 1(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = lim_x® 1(x-1)/(xln x+x-1) = lim_x®11/(ln x+2) = 1/2.
4. lim_x® +0(1/x)^{sin x}. Пусть y = (1/x)^{sin x}, тогда ln y = sin xln (1/x),lim_x® +0ln y = lim lim_x® +0sin xln (1/x). lim_x® +0ln y =lim_x® +0(-ln x)/(1/sin x) = lim_x® +0(-1/x)/(-cos x/sin²x) = lim_x® +0 sin²x/(xcos x) = 0.Следовательно, lim_x® 0 y = e⁰ = 1.