Неопределенный интеграл

Определение 16 (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x²/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x²/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Справедлива

Теорема 14. Если F1(x), F2(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F2(x) = F1(x)+C.

Доказательство. Так как (F₂(x)-F₁(x))' = F'₂(x)-F'₁(x) = f(x)-f(x) = 0, xО X, то F₂(x)-F₁(x) = C, то есть F₂(x) = F₁(x)+C.

Определение 17 (неопределенный интеграл). Совокупность 
всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается

 f(x)dx.

Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут

 f(x)dx = F(x)+C.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.  dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств dF(x) =  F'(x)dx =  f(x)dx = F(x)+C.
2. d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенстваd f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
3. Если функции f₁(x), f₂(x) имеют первообразные, то функция f₁(x)+f₂(x) тоже имеет первообразную, причем (f1(x)+f2 (x))dx =  f1(x)dx+ f2(x)dx.
4. Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k№ 0 справедливо равенство kf(x)dx = k f(x)dx.

Таблица интегралов

Метод подстановки

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

f(x)dx =  f(f (t))f' (t)dt.

(13)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

 f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.