3.10. Сравнение двух дисперсий
нормальных генеральных совокупностей

     На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.
     Пусть необходимо проверить гипотезу о том, что две независимые выборки получены из генеральных совокупностей Х и Y с одинаковыми дисперсиями σ_х² и σ_y². Для этого используется F-критерий Фишера.
     Порядок применения F-критерия следующий:
     1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости α формулируется нулевая гипотеза Н₀: σ_х²=σ_y² о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н₁: σ_х² > σ_y².
     2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y объемом n_x и n_y соответственно.
     3. Рассчитывают значения исправленных выборочных дисперсий s_х² и s_y² (методы расчета рассмотрены в 4.4). Большую из дисперсий (s_х² или s_y²) обозначают  s₁², меньшую – s₂².
     4. Вычисляется значение F-критерия по формуле F_набл= s₁²/s₂².
     5. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числом степеней свободы ν₁=n₁–1, ν₂=n₂–1 (ν₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии), находится критическая точка F_кр(σ,ν₁, ν₂).
     Отметим, что в таблице П.7 приведены критические значения одностороннего F-критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н₁: σ_х²≠σ_y² ), то правостороннюю критическую точку F_кр (α/2, n₁, n₂) ищут по уровню значимости α/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы n₁ и n₂ (n₁–число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать.
     6. Делается вывод: если вычисленное значение F–критерия больше или равно критическому (F_набл ≥ F_кр), то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. В противном случае (F_набл < F_кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.
     Задача 3.5. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:
    

3.11. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей

     В экономических исследованиях очень часто возникает задача сравнения средних двух генеральных совокупностей, представленных выборками. Для решения этой задачи в случае распределений, близких к нормальному, используетсяt-тест Стьюдента. Рассмотрим алгоритм его использования. 
     Пусть имеются две выборки объемом n₁ и n₂. Проверяем H₀: a₁=a₂.
     1. Вначале вычисляются оценки средних  и несмещенные оценки дисперсий s₁², s₂².
     2. В соответствии с 6.2. на заданном уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве дисперсий H ̃₀: σ₁² = σ₂²при альтернативной H̃₀: σ₁² ≠ σ₂².
     3.1. Если H ̃₀ принимается, то вычисляется статистика
      где  и сравнивается с , найденное по табл. П. 6. Приложения (при этом для H₁:a₁ > a₂. или H₁: a₁ < a₂ берется односторонняя область, для H₁: a₁ ≠ a₂ – двусторонняя). Если t ≤ t_кр, то Н₀принимается.
     3.2. Если H̃₀ отвергается, то вычисляется статистика 
     
     и сравнивается с t_кр=t_α(k), найденное по табл. П.6. Приложения (при этом для H₁: a₁>a₂ или H₁:a₁<a₂ берется односторонняя область, для H₁:a₁≠a₂ – двусторонняя), где  (округляется до целого). Если t≤ t _кр, то Н₀принимается.
     Задача 3. 6. (сравнение средних). При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты (в кг вещества за час работы):