3.10. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Пусть необходимо проверить гипотезу о том, что две независимые выборки получены из генеральных совокупностей Х и Y с одинаковыми дисперсиями σх2 и σy2. Для этого используется F-критерий Фишера. Порядок применения F-критерия следующий: 1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости α формулируется нулевая гипотеза Н0: σх2=σy2 о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1: σх2 > σy2. 2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y объемом nx и ny соответственно. 3. Рассчитывают значения исправленных выборочных дисперсий sх2 и sy2 (методы расчета рассмотрены в 4.4). Большую из дисперсий (sх2 или sy2) обозначают s12, меньшую – s22. 4. Вычисляется значение F-критерия по формуле Fнабл= s12/s22. 5. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числом степеней свободы ν1=n1–1, ν2=n2–1 (ν1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии), находится критическая точка Fкр(σ,ν1, ν2). Отметим, что в таблице П.7 приведены критические значения одностороннего F-критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н1: σх2≠σy2 ), то правостороннюю критическую точку Fкр (α/2, n1, n2) ищут по уровню значимости α/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы n1 и n2 (n1–число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать. 6. Делается вывод: если вычисленное значение F–критерия больше или равно критическому (Fнабл ≥ Fкр), то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. В противном случае (Fнабл < Fкр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий. Задача 3.5. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил: Расход сырья хi | 304 | 307 | 308 | Число изделий mi | 1 | 4 | 4 |
По новой технологии:Расход сырья yi | 303 | 304 | 306 | 308 | Число изделий ni | 2 | 6 | 4 | 1 |
Предположив, что соответствующие генеральные совокупности X и Y имеют нормальные распределения, проверить, что по вариативности расход сырья по новой и старой технологиям не отличаются, если принять уровень значимости α = 0,1. Решение. Действуем в порядке, указанном выше. 1. Будем судить о вариативности расхода сырья по новой и старой технологиям по величинам дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид Н0: σх2 = σy2. В качестве конкурирующей примем гипотезу Н1:σх2 ≠ σy2, поскольку заранее не уверены в том, что какая-либо из генеральных дисперсий больше другой. 2–3. Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам: ui=xi – 307, vi= yi – 304. Все вычисления оформим в виде следующих таблиц: ui | mi | miui | miui2 | mi(ui+1)2 | | vi | ni | nivi | nivi2 | ni(vi+1)2 | –3 | 1 | –3 | 9 | 4 | | –1 | 2 | –2 | 2 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 4 | | 0 | 6 | 0 | 0 | 6 | 1 | 4 | 4 | 4 | 16 | | 2 | 4 | 8 | 16 | 36 | Σ | 9 | 1 | 13 | 24 | | 4 | 1 | 4 | 16 | 25 | | | | | | | Σ | 13 | 10 | 34 | 67 | Контроль: Σ miui2+2Σ miui+m=13+2+9=24 | | Контроль: Σnivi2+2Σnivi+n =34+20+13=67 |
Найдем исправленные выборочные дисперсии: ![](http://math.immf.ru/img/856.gif) 4. Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: . 5. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид σх2 ≠ σy2, поэтому критическая область двусторонняя и при отыскании критической точки следует брать уровни значимости, вдвое меньше заданного. По таблице П.7 по уровню значимости α/2 = 0,1/2 = 0,05 и числам степеней свободы ν1=n1–1=12, ν2=n2–1=8 находим критическую точку Fкр(0,05; 12;8)=3,28. 6. Так как Fнабл. < Fкр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем. Выше, при проверке гипотез предполагалось нормальность распределения исследуемых случайных величин. Однако специальные исследования показали, что предложенные алгоритмы весьма устойчивы (особенно при больших объемах выборок) по отношению к отклонению от нормального распределения.3.11. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей В экономических исследованиях очень часто возникает задача сравнения средних двух генеральных совокупностей, представленных выборками. Для решения этой задачи в случае распределений, близких к нормальному, используетсяt-тест Стьюдента. Рассмотрим алгоритм его использования. Пусть имеются две выборки объемом n1 и n2. Проверяем H0: a1=a2. 1. Вначале вычисляются оценки средних и несмещенные оценки дисперсий s12, s22. 2. В соответствии с 6.2. на заданном уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве дисперсий H ̃0: σ12 = σ22при альтернативной H̃0: σ12 ≠ σ22. 3.1. Если H ̃0 принимается, то вычисляется статистика где и сравнивается с , найденное по табл. П. 6. Приложения (при этом для H1:a1 > a2. или H1: a1 < a2 берется односторонняя область, для H1: a1 ≠ a2 – двусторонняя). Если t ≤ tкр, то Н0принимается. 3.2. Если H̃0 отвергается, то вычисляется статистика ![](http://math.immf.ru/img/862.gif) и сравнивается с tкр=tα(k), найденное по табл. П.6. Приложения (при этом для H1: a1>a2 или H1:a1<a2 берется односторонняя область, для H1:a1≠a2 – двусторонняя), где (округляется до целого). Если t≤ t кр, то Н0принимается. Задача 3. 6. (сравнение средних). При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты (в кг вещества за час работы):
№ замера | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Агрегат А | 14,1 | 10,1 | 14,7 | 13,7 | 14,0 | Агрегат В | 14,0 | 14,5 | 13,7 | 12,7 | 14,1 |
Можно ли считать, что производительности агрегатов А и В в среднем одинаковы, в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей? Принять а = 0,10. Решение. Проверяется гипотеза H0:a1=a2 при альтернативной гипотезе H1:a1 ≠ a2. Вычислим оценки средних и дисперсий: ![](http://math.immf.ru/img/867.gif) Предварительно проверим гипотезу о равенстве дисперсий H0: : ![](http://math.immf.ru/img/869.gif) так как (табл. П.8. Приложения), то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется. Для проверки гипотезы о равенстве средних используем критерии из пункта 3.2. Вычислим выборочное значение статистики критерия: Число степеней свободы Так как по табл. П.6. Приложения tкр=t0,05(5) = 2,01, гипотеза о равенстве средних принимается. |