| 1. Основные понятия Определение. Множеством называется совокупность объектов любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов, множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.).
Принадлежность элемента х множеству Х обозначается: х є Х.
Способы записи множеств: А={х1, х2,…, хn}, А= {1, 2, 3, … ,10}, А= {а є R | |a| ≥1}, Х = {х: |x-a|≤b}.
Определение. Множество U образует линейное пространство, если для любых двух его элементов  є U и  є U определены операция сложения:  и операция умножения любого элемента на число:  , удовлетворяющие свойствам:
1)  ,
2)  ,
3)  ,
4)  ,
5)  ,
6)  ,
7)  ,
8)  ,
где  ,  – нулевой элемент  , а коэффициенты α, β, λ, 1 – действительные числа.
Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде  , где  - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Векторы равны, если они одной размерно-сти и имеют равные соответствующие координаты: (2,3,5) = (2,3,5). Нуль-вектор  = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль.
Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.
Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n-мерные векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый набор товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором  , а соответствующие цены – вектором  . 2. Действия над n-мерными векторами Пусть даны векторы  и  .
Определение. Суммой векторов  и  называется вектор  , т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).
Определение. Произведением вектора  на число  называется вектор  т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве. Следовательно, арифметическое n-мерное пространство Rn является частным случаем введенного ранее линейного пространства.
Определение. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов: 
Пример: Пусть  и  .
Тогда  .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. , причем  , только при 
2. ,
3. ,
4. .
Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е.  .
Пример. Пусть  Тогда  ортогональны.
Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n-мерным пространством.
Примеры:
1. Множество трехмерных векторов R3.
2. Множество двумерных векторов R2.
3. Множество R1 = R – множество действительных чисел. 3. Линейная зависимость и независимость векторов. Пусть  – векторы из некоторого линейного пространства.
Определение: Линейной комбинацией векторов  , называется выражение вида:  , где  – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число  , также вектор.
Примеры:
1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);
2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).
Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов  получить нулевой вектор  при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах  мы всегда получим ).
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.
Если  , то  .
И наоборот, если вектор  представлен в виде линейной комбинации остальных векторов  , то он в совокупности с ними дает систему  линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации  коэффициент  .
Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы  будут линейно независимы, если равенство  возможно лишь при всех  . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.
Пример. Будут ли векторы  линейно зависимыми?
Решение. Составим линейную комбинацию  . Подставим координаты и выполним действия над векторами: λ(2,4)+β(5,1)=(0,0) => (2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0) => (2λ+5β,4λ+β)=(0,0).
В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:
Решив эту систему уравнений, получаем:  а это значит, что  линейно независимы.
Пример. Будут ли векторы  линейно зависимыми?
Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к : 
Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим 
Решим систему уравнений:  .
В этом решении число β играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β дают то или иное решение системы. Так, при β ≠ 0 получим α ≠ 0 и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы  дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы. 4. Базис. Разложение векторов по базису. Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.
Пусть  – базис пространства Rn и  . Тогда найдутся такие числа λ1, λ2, …, λn, что  .
Коэффициенты разложения λ1, λ2, …, λn, называются координатами вектора  в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.
Пример. Доказать, что векторы  образуют базис в R3.
Решение. Покажем, что равенство  возможно только при λ1 = λ2 = λ3 =0:
или 
Решив систему, получим λ1=0, λ2=0, λ3=0. Так как все λi=0 (i=1,2,3), то  - линейно независимы. Они могут составить базис в R3.
Очевидно, любой новый набор из векторов    может тоже быть взятым в качестве базиса в R3. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.
Пример. Разложить вектор  по базису  .
Решение.  . Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:
Приравняв координаты, получим систему уравнений:
Решим ее:  .
Таким образом, получим разложение:  .
В базисе  вектор имеет координаты  .
Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе. |
