При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение систем линейных алгебраических уравнений. Для изучения методов решения систем уравнений введем понятия матриц и определителей.

1. Виды матриц

    Определение. Таблица m x n чисел a_ij вида
    , состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.
     Числа a_ij, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, называются элементами матрицы.
     Матрицы А=(а_ij) и В=(b_ij) называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для каждой пары индексов выполняется равенство a_ij= b_ij.
     Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:
          .
     Матрица, у которой m=n, называется квадратной матрицей n-го порядка.
     В квадратной матрице элементы a₁₁, а₂₂, … а_nn составляют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:
         .

2. Действия над матрицами

    1. Умножение матрицы на число
     Произведением матрицы  на число λ называется матрица .
     Пример. Найти произведение матрицы  на число λ=3.
     
     .

     2.Сложение (вычитание) матриц
     Суммой (разностью) матриц А и В, в каждой из которых m строк и n столбцов, называется матрица С с элементами, равными суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых:
     
     
     Пример. Найти сумму матриц  и .
     
     Решение. .
     
     3.Умножение матриц
     Пусть даны матрица  размерности  и 
          матрица  размерности .
     Пусть число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В (в этом случае матрицу А называют согласованной с матрицей В).
     Произведением матрицы А на матрицу В называется такая матрица  размерности, каждый элемент которой находится как сумма произведений элементов, взятых по порядку из i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
     Пример. Найти произведение матриц  и .
     Решение:  . 
     Пример. Найти произведение матриц  
     Решение: .
     Еще раз отметим, что в матрице-произведении число строк равно числу строк матрицы А и число столбцов равно числу столбцов матрицы В.

3. Определители

     Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы и представляет собой число, которое находится по определенному правилу через элементы, составляющие данную матрицу.
     Для квадратной матрицы  n-го порядка определитель n-го порядка обозначается символом:
     Δ=.                                                            (1)
     В определителе различают строки и столбцы. Числа a_ij( i=1,…,n; j=1,…,n) называются элементами определителя.
     Определение. Минором М_ij элемента а_ij определителя (1) называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя Δ путем вычеркивания i-ой строки из j-го столбца, на пересечении которых стоит элемента_ij. 
     Определение. Алгебраическим дополнением А _ij элемента а_ij называется  произведение (-1)^i+ jМ_ij.
     Не вводя строгое понятие определителя, дадим лишь правило его нахождения.
     Определитель Δ = n-го порядка находится по формуле:
     Δ                                             (2) 
    

     где i - любое из чисел 1,2,…, n, А _ij – алгебраическое дополнение элемента а _ij .
     Найдем по формуле (2) определитель 2-го порядка, выбрав, например, i=1: Δ = . 
     Из формулы (2) следует, что вычисление определителей >N-го порядка сводится к вычислению определителей (>n-1)-го порядка (т.е. миноров). Те, в свою очередь, опять по формуле (2) сводятся к определителям (n-2)-го порядка. Процесс нахождения определителей продолжается до получения миноров 2-го или 1-го порядка. Запись (2) называется разложением определителя по элементам i-ой строки.
     Пример. Вычислить определитель третьего порядка Δ = .
     Решение:      
                         .
     Разложение было выполнено по элементам 1-ой строки. 
     Заметим, что если некоторые элементы строки, по элементам которой производится разложение, равны нулю, то вычисление значительно упрощается. Обычно, пользуясь свойствами определителя, преобразуем его таким образом, чтобы в выбранной строке (выбранном столбце) все элементы кроме одного, равнялись нулю.    

Свойства определителей

     Величина определителя не меняется от замены строк столбцами (проверьте самостоятельно). Из этого свойства  следует, что определитель можно найти, разлагая его также и по элементам какого-либо столбца: Δ = , где j - номер любого из столбцов.
     Если любую строку или столбец матрицы умножить на некоторое число, то определитель также умножится на это число. При этом общий множитель  элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
     Величина определителя не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.
     Пример: Вычислить определитель четвертого порядка:
     Δ = .
     Решение.
     1) Вынесем из второго столбца за знак определителя общий множитель 2; умножим первую строку на (–4) и сложим со второй строкой; умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей; умножим первую строку на (–2) и сложим с четвертой, получим:
     Δ = .
     Вынесем за знак определителя из третьей строки общий множитель 2, получим определитель
     Δ = .
     Разложим определитель Δ по элементам первого столбца, получим определитель третьего порядка, который вычислим, разлагая его по элементам 1-й строки:
     
    

4. Обратная матрица

     Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной, если ее определитель n-го порядка Δ. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.
     Определение. Матрица В называется обратной для данной квадратной матрицы А, если АВ =ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обратную матрицу для данной матрицы А обозначают А^-1, поэтому:
     А^-1=А^-1 А=Е.
     Если квадратная матрица невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица.
     Пусть задана квадратная матрица
     .
     Тогда обратная матрица А^-1 находится следующим образом:
     ,
     где Δ – определитель матрицы А, А_ij – алгебраическое дополнение элемента а _ij ( i =1,…, n ; j =1, …, n ). Необходимо обратить внимание, что, находя алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А, в обратной матрице А^-1 мы записываем их по соответствующим столбцам.
     Пример. Найти матрицу, обратную матрице . 
     Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
     Решение. Определитель матрицы А вычислен ранее:
     Δ = .
     Так, как Δ , то матрица А невырожденная и для нее существует обратная.
     Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
     
     
     Следовательно: 
     Проверка: 
     
     Ответ: .