1. Основные понятия

     Определение. Уравнение вида
     F(x,y,y',y'',…,y⁽ⁿ⁾) = 0,                                                    (*)
     связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
     Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С₁,С₂,…,С_n), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у⁽ⁿ⁾ уравнение (*) в тождество.
     Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С₁, С₂, …, С_n определенные числовые значения.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

     Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
     Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e^2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиямх=0, у=1.
     Решение. Данное уравнение является линейным.
     Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e^2x.
     Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e^2 x или U'υ+U(υ'+3υ)= e^2x.
     Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем:    ln υ =–3x,υ=e^–3x.
     Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными: 
     .
     Итак, общее решение данного уравнения имеет вид: 
     .
     Найдем частное решение. Для этого подставим  начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
     .
     Частное решение имеет вид: .

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

     Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
     Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида: 
     y''+ρy'+qy=0,                                                      (1)
     у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
     Уравнение
     K²+ρK+q=0                                             (2)
     называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
     Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К₁ иК₂.
     Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ²–4q уравнения (2) следующим образом:
     1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К₁≠К₂), и общее решение имеет вид .
     2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К₁=К₂=К), и общее решение имеет вид:
     3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где  – мнимая единица,  и общее решение (К₁=α+βi, К₂=α–βi, β≠0), имеет вид y=e^αx(C₁ cosβx+C₂ sinβx).
     Пример 1. Найти общее уравнение y''–y'–2y=0.
     Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K²–K–2=0, его корни К₁=1, К₂=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y=C₁e^x+C₂e^–2x.
     Пример 2. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=0.
     Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К²–2К+1=0, его корни К₁ = К₂=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y=e^x(C₁+C₂x).
     Пример 3. Найти общее решение уравнения y''–4y'+13y=0.
     Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К²–4К+13=0, его корни К₁=2+3i, К₂=2–3i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y=e^2x(C₁ cos3x+C₂sin3x). 
     Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
     y''+ρx+qy=f(x),                                                                (3)
     где f(x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
     Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения  неоднородного уравнения (3) и общего решения y_осоответствующего однородного уравнения (1): 
     .
     Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).
     1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=e^αxP_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n. Тогда частное решение  ищем в виде , где Q_n(x) – многочлен той же степени, что и P_n(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.
     Пример 4. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=x²+1.
     Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y_o=e^x(C₁+C₂x )(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (К₁=К₂=1), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax²+Bx+C и подставляя =Ax²+Bx+C, ,  в данное уравнение находим 2A–4Ax–2B+Ax²+Bx+C=x²+1, или Ax²+(B–4A)x+2A–2B+C=x²+1.
     Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4, С=7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - .
     Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
      .
     Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y _o=C₁e^x+C₂e^–2x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e^αx при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =A∙e^2x.
     Дифференцируя и подставляя  в уравнение получаем:
      и , откуда , .
     Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения  и общее решение запишется в виде . Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. .
     Подставляем начальные условия в у и у', находим С₁ и С₂:
     
     .
     Подставляя найденное значение С₁ и С₂ в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
     .
     2) Пусть правая часть имеет вид  и α+βi, (α–βi) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде .
     Если же α+βi, (α–βi) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде .
     Пример 6. Найти общее решение уравнения .
     Решение. Здесь характеристическое уравнение К²+1=0 имеет корни К₁= i, К₂=-i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y=C₁cosx+C₂sinx. В правой части стоит тригонометрическое функция  то есть a=0, b=1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: . 
     Дифференцируя  и подставляя его в дифференциальное  уравнение, получим , откуда  , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: .