Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

12.2. Некоторые теоремы о производных
29.12.2011, 12:08

Теорема. О непрерывности функций, имеющих производную.

Если функция f(x) имеет производную в т. х0, то она непрерывна в этой точке.

Дано: $f'(x)=. Доказать, что функция f(x) - непрерывна в т. х0.

Доказательство.

Используя критерий существования предела, имеем

, или

f(x)-f(x0)=f'(x0)×(xx0)+о(1)×(xx0), что можно записать в виде

         f(x)=f(x0)+f'(x0)×(xx0)+о(1)×(xx0)-

асимптотического разложения функции, имеющей производную.

     Переходя к пределу при х®х0 в полученном асимптотическом разложении, имеем ,значит, функция f(x)- непрерывна в точке x0.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Если f(x)- непрерывна в т. x0, то f(x)=f(x0)+о(1), если же

f(x)- имеет производную, то f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+о(1)(xx0).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Из существования у функции производной производной Þ $ непрерывности. Из непрерывности функций не следует то, что функция имеет производную.

Пример.


а , то


 не существует ½х½', в т. х0=0.

 

 

 

 

 

 

Геометрический и физический смысл производной.


                        Рассмотрим треугольник DM0MN

                        , если

                        x®x0 Þ y®y0M®M0, значит,

 

 

 

хорда ММ(являющаяся частью прямой) в пределе стянется в точку, а прямая будет иметь одну общую точку с графиком функции f(x).

Такие прямые называются касательными к графику функции. Касательная представляет предельное положение секущей, когда M®M0.

      Значит для тангенса угла наклона касательной имеем

.

Таким образом геометрический смысл производной функции в точке это  тангенс угла  наклона касательной к графику функции в этой точке. Физический смысл- скорость изменения функции.


  (средняя скорость)

                             S'(t0)=V мг - мгновенная скорость в t0.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 26
Гостей: 26
Пользователей: 0