Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

15.1. Теоремы о среднем
29.12.2011, 12:19

Теорема Ферма.

Если функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) и в т. x0 Î (a,b) принимает наибольшее (или наименьшее) значение, то либо f’(x0)=0, если она существует, либо f’(x0) не существует.

Доказательство.

Пусть в т. х0 функция f(x) принимает свое наименьшее значение. То есть для "х Î (х0-d, х0+d), х¹хÞ f(x)>f(x0).

Если существует f’(x0), то .

При х ® х0-0 имеем х-х0<0, f(x)-f(x0)>0 Þ <0, но в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве £0. Если же х ® х0+0, то х-х0>0, f(x)-f(x0)>0 Þ ³0.

Так как производная в точке х0 существует, то она единственна, а поэтому  f’(x0-0)=f’(x0)=f’(x0+0).

      Это возможно лишь при f’(x0)=0.

Случай когда производная в точке наименьшего значения не существует проиллюстрируем графически

 

 

Действительно в точке х0=0 имеем наименьшее значение, но производная в т. 0 не существует.

 

 

Теорема Ролля.

Если функция f(x) такова, что

1)  на отрезке [a,b] она непрерывна;

2)  на интервале (a,b) - дифференцируема;

3)  на концах отрезка [a,b] ее значения равны f(a)=f(b),

тогда $ т. q Î (a,b) такая, что f’(q)=0.

Доказательство.

В силу непрерывности f(x) íà [a,b] она принимает на этом отрезке свое наименьшее m и наибольшее M значения.

Если m=M, то f(x)=const и производная f’(x)=0.

Если же m¹M, то могут быть варианты:

а) одно из значений, к примеру m, принимается функцией на концах отрезка [a,b], а тогда второе значение - M, принимается функцией в т. q внутри интервала (a,b), но тогда по теореме Ферма f’(q)=0;

б) если ни одно из значений m и M не принимается функцией на концах отрезка [a,b],  тогда  оба  они принимаются в точке qi Î (a,b), а значит по теореме Ферма f’(qi)=0.

 

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и j(х) таковы, что

1)  непрерывны на [a,b];

2)  дифференцируемы на (a,b);

3)  j’(x)¹0 на интервале (a,b),

тогда $ т. q Î (a,b) в которой верна формула

.

Доказательство.

Рассмотрим функцию h(x)=f(x)-l×j(x). Подберем число l так, чтобы h(a)=h(b). Из условия h(a)=h(bÞ f(a)-l×j(a)=f(b)-l×j(b), а значит

.

Теперь, при найденном l, функция h(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, из которой следует, что существует точка q Î (a,b) в которой

.

Откуда очевидна формула

.

ЗАМЕЧАНИЕ

При j(x)=x имеем формулу, получаемую из теоремы Лагранжа.

f(b)-f(a)=f’(q)×(b-a).

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА