Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

15.4. Возрастание, убывание функций
29.12.2011, 12:21

Пусть f(x)  определена на интервале (a;b).

Определение. Функция f(x) называется возрастающей на (a;b) (не убывающей), если для " х1, х2  (a;b): x1<x2  Þ

              f(x1)<f(x2)   (f(x1)£f(x2))

 

Определение. Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей), если для " х1, х2  (a;b): x1<xÞ

                    f(x1)>f(x2)   (f(x1)³f(x2))

Теорема. Критерий возрастания убывания.

Для того, чтобы функция  f(x), дифференцируемая на (a;b), была возрастающей (убывающей на (a;b)) необходимо и достаточно, чтобы f’(x³ 0    (f’(x£ 0)   на (a;b).

Доказательство.

Необходимость.

Пусть f(x) - возрастает на (a;bÞ для " х1, х2  (a;b) и таких,что x1<x2  следует неравенство f(x1)<f(x2). Поэтому

разность Df=f(x2)-f(x1)>0.

Но тогда

 Þ =f’(x1)³0

в силу теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

Так как х1 и х2 - любые, то f’(x)³0 на всем интервале.

Достаточность.

Пусть f’(x)³0. Тогда для " x1x2 Î (a;b) è òàêèõ ,что x1<x2 можно применить теорему Лагранжа. Так как x1 è x2 - внутренние точки интервала (a;b) следовательно имеем

f(x2)-f(x1)=f’(q)(x2-x1), при x1<q<x2 .Поэтому для " x1x2 : x1 < x2

      ³0

ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî f(x1)£f(x2) из которого следует по определению  f(x) - не убывающая функция.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 17
Гостей: 17
Пользователей: 0