Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

8.2. Абсолютная величина, ее свойства. Понятие функции, графики основных элементарных функций
29.12.2011, 11:32

Пусть имеется " xÎR. Тогда абсолютной величиной числа x назовем число, обозначаемое ïxï (ïxï³0) такое, что

.

Абсолютная величина числа обладает следующими свойствами:

1) Если число M ³ 0, то неравенство ïxï < М Û  неравенству   -М < x < M, и графически изображается интервалом на числовой оси

 

2) Если М³0, то неравенствоïxï>М Û совокупности неравенств,которые графически изображаются так

3) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел ïa+bï£ïaï+ïbïÄåéñòâèòåëüíî -ïaï£a£ïaï и -ïbï£b£ïbï.

Складывая эти неравенства одинакового смысла имеем

-(ïaï+ïbï)£a+b£ïaï+ïbïÛ (по свойству 1) ïa+bï£ïaï+ïbï

4) Модуль разности больше или равен разности модулей

ïa-bï³ïaï-ïbï, т.к. a-b+b=a, то ï(a-b)+bï=ïaï, но по свойству 3,

ï(a-b)+bï=ïaï£ïa-bï+ïbï,ïîýòîìó, ïåðåíîñÿ  ïbï в левую часть неравенства, имеем ïaï-ïbï£ïa-bï.

C учетом свойств абсолютной величины введем определения окрестностей точки x0.

Определение.

Назовем e- окрестностью точки x0 множество обозначаемое

U(x0e)={x:ïxx0ï<e} и геометрически изображаемое так

 

Определение.

Назовем проколотой e- окрестностью точки х0 множество

 

  

 

 

В дальнейшем эти определения будем использовать при рассмотрении пределов функции.

Введем определение функции.

 

Определение.

Если каждому элементу xÎD по некоторому закону f ставится в соответствие один и только один элемент yÎE (хотя бы один), то говорят, что на множестве D задана однозначная (многозначная) функция, принимающая значения на множестве Е. D(f)- называют область определения функции, а E(f)- областью изменения функции. Графическое изображение функции дано ниже

При обозначении функции применяются записи y=f(x)  или f:D®E. (f отображает множество D на Е). Для получения из известных функций новых, неизвестных ранее функций, дадим понятие сложной функции.

Определение.

Если задана g:D®E1, а функция f:E1®E, то говорят, что на множестве D задана сложная функция (суперпозиция функций) и приняты следующие обозначения

y=f(g(x)) Û y=fq(x)

Для работы с функциями полезно помнить основные элементарные функции их графики и свойства.

Степенная функция.

 

 

y=x2kk=1,2,..                     y=x(2k-1), k=1,2,3,...

D(y)={x:xÎR},                      D(y)={x:xÎR},

E(y)={y:y³0}                        E(y)={y:yÎR}

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

y=x-n, nÎN

D(y)={x:x¹0},

 

 

 

 

 

 D(y)={x:x³0}, E(y)={y:y³0} ,k=1,2,3,...

D(y)={x:xÎR}, E(y)={y:yÎR}

 

 

 

y=xaa- иррациональное, D(y)={x:x>0}, E(y)={y:y>0}

 

 

 

 

 

 

Показательная функция.

 

y=axa>0,a¹1,

D(y)={x:xÎR}, E(y)={y:y>0}

 

 

 

Логарифмические функции.

y=logaxa>0, a¹1,

D(y)={x:x>0}, E(y)={y:yÎR}  

 

 

Тригонометрические функции.

y=sinxD(y)={x:xÎRE(y)={y:-1£y£1}, период 2p

 

y=cosxD(y)={x:xÎR}, E(y)={y:-1£y£1}, период 2p

 

 

 

 

 

 

y=tg={x:"xÎR, x¹+pk, kÎZ}, Е(y)={y:yÎR}, период p

 

 

y=ctg период p

 

 

 

 

 

Обратные тригонометрические функции.

 

y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x

Области определения и изменения этих функций видны из графиков, графики этих функций симметричны графикам соответствующих тригонометрических функций относительно прямой y=x.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 25
Гостей: 24
Пользователей: 1