Вариант 1 (2005 г.)

Задача 1.

Имеется информация за 10 лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн. руб.):

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b₀, b₁, теоретических коэффициентов   b₀, b₁ при уровне значимости a = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-ные доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление при доходе X = 23,0 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = 23,0).

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления X = 23,0.

6. Оцените, на сколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн. руб.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации R².

8. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2.

По 15 наблюдениям получены следующие результаты:

, , , , , , , , , .

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии .

2. Определите стандартные ошибки коэффициентов.

3. Вычислите  и .

4. Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и детерминации при уровне значимости .

Задача 3.

Пусть определена регрессия , причем >0. При отбрасывании переменной X₂ и оценке регрессии  коэффициент  оказался отрицательным (<0). Возможно ли это? Если да, тогда при каких обстоятельствах?

Задача 4.

Докажите, что график уравнения парной линейной регрессии всегда проходит через точку с координатами , , где  - средние значения переменных.