НГТУ, финансовая математика (практические задания)

Задачи по теме: Методология инвестиционно-финансовых расчетов

1. Предприятие получило кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием вернуть 16 млн. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.

2. На счете в банке 1,2 млн. руб. Банк платит 12,5% годовых. Предлагается войти всем капиталом в совместное предприятие, при этом прогнозируется удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?

3. Вы имеете 10 млн. руб. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?

4. Какая сумма предпочтительнее при ставке 9% – $1000 сегодня или $2000 через 8 лет.

5. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления: а) простых и б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды начисления 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

6. Банк предоставил ссуду в размере $5000 на 39 месяцев под 20% годовых на условиях полугодового начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при различных схемах начисления процентов: а) схема сложных процентов; б) смешанная схема (т.е. начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года).

7. Какие условия предоставления кредита более выгодны банку: а) 28% годовых, начисление ежеквартальное; б) 30% годовых, начисление полугодовое?

8. Что более предпочтительнее – получить $2000 сегодня или $5000 через 8 лет, если коэффициент дисконтирования равен 9%?

9. Номинальная годовая ставка процента составляет 60%. Какова эффективная годовая ставка при начислении сложных процентов по полугодиям?

10. Какая сумма должна быть инвестирована сегодня для накопления 500 тыс. руб. к концу года при начислении процентов по ставке:

а) 160% годовых в конце каждого квартала;

б) 140% годовых в конце каждого полугодия.

11. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 1 млн. руб., вырос до 1,2 млн. при условии, что начисляются проценты по ставке 25% годовых.

12. Финансовый инструмент на сумму 5 млн. руб., срок платежа по которому наступает через 5 лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Какова сумма дисконта?

13. Каков ваш выбор – получение $5000 через год или $12000 через 6 лет, если коэффициент дисконтирования равен а) 0%; б) 12%; в) 20%.

14. Фирме нужно накопить $2 млн., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?

15. Оплата по долгосрочному контракту предполагает выбор одного из двух вариантов: 25 млн. руб. через 6 лет или 50 млн. руб. через 12 лет. При каком значении коэффициента дисконтирования выбор безразличен?

16. Пусть современная стоимость $1000, которые истер А должен получить по банковскому депозиту через 2 года при постоянной интенсивности δ, равна удвоенной современной стоимости $600, которые мистер В получит по депозиту через 4 года при том же δ. Найти δ.

17. Заемщик В должен уплатить кредитору А по векселю

$1000 на 01.01.00

$2500 на 01.01.01

$3000 на 01.07.01.

Найти современную стоимость долга на моменты а) 01.01.98 и б) 01.04.99 при δ = 0,06 за год.

18. Пусть время измеряется в годах и что в ближайшие 5 лет прогнозируется следующее поведение δ(t):

 Найти А (0,t) и ν (0,t).

19. Пусть δ (t) – кусочно-постоянная функция при t ≥ 0 задается:

Найти коэффициент дисконтирования при ν (0,t) при t ≥ 0.

20. Пусть на подынтервале (t_j, t_j+1) интенсивность роста изменяется по закону δ (t) = δ_j + (t – t_j) a_j ≥ 0, где a_j > 0 на подынтервалах ее уменьшения j = 0,1,…,n-1. Докажите, что при t є (t_m, t_m+1), m = 0,1,…,n-1

21. Пример из лекции: Вклад в сумме 2 млн. руб. помещен на банковский депозит с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке 6% в месяц. Требуется найти реальный ожидаемый доход вкладчика за год, если в печати опубликованы прогнозы трех организаций о месячном темпе инфляции, согласно которым h^(н)_мес = 0,03; 0,05 и 0,01 соответственно. Вероятности этих прогнозов: р₁ = 0,3; р₂ = 0,5; р₃ = 0,2. Решить эту задачу т.о.: определите среднее значение Ĥ_год по всем трем прогнозам, а затем с его помощью вычислить ожидаемый реальный доход вкладчика. Выполните этот расчет, сравните результат с предыдущим и обдумайте, почему результаты не совпадают. Какой из методов расчета кажется Вам более обоснованным?

22. Определить реальный доход вкладчика, если сумма 100.000 руб. положена на депозит на 2 года по сложной ставке 50% годовых с ежеквартальным начислением процентом при среднем за полугодие темпе инфляции, равном 20%.

23. Пусть сила роста изменяется во времени, следуя определенному закону – непрерывной функции времени: δ (t) = f (t). Найти коэффициент наращения в случаях:

а) δ (t) – линейная функция, т.е. δ (t) = δ (0) + at, где δ (0) – начальное значение силы роста, а – ее прирост;

б) δ (t) – изменяется по геометрической прогрессии, т.е. δ (t) = δ (0) a^t, a – постоянный темп роста.

24. Используя предыдущую задачу найти коэффициент наращения. Если начальный уровень силы роста 8%, процентная ставка непрерывно увеличивается (годовой прирост 20%, т.е. а = 1,2) срок Т = 5 лет.

25. Пусть полученные проценты облагаются налогом, и пусть ставка налога на проценты g. По-прежнему S (0) – начальная сумма, S (t) – наращенная сумма до выплаты налогов и пусть Ŝ (t) – с учетом выплаты. Найти наращенную сумму после выплаты налога, если а) i – простая ставка; б) i – сложная ставка.

26. Пусть ставка налога на проценты равна 10% (g = 10%). Процентная ставка – 30% годовых; срок начисления – 3 года. Первоначальная сумма ссуды – $1000. Определить наращенную сумму с учетом выплаты налога на проценты.

27. Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.

28. Первоначальный капитал в размере 20 000 000 руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определить номинальную ставку процента и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12%.

29. При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кредит выдается на полгода, за которые предполагаемый индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.

30. Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 0,9% в месяц выдается кредит на два года по номинальной ставке сложных процентов 15% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

31. Определить, какой реальной убыточностью обладает финансовая операция, если на уровне инфляции 14% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 8% при ежемесячном начислении.

Задачи по теме: Потоки платежей и финансовые ренты

1. На ежеквартальные взносы в банк в размере 100 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет 12% годовых: а) раз в год; б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?

2. На взносы в банк каждые полгода в течение 5 лет по $1000 по схеме пренумерандо банк начисляет проценты по ставке 12% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?

3. Раз в полгода делается взнос в банк по схеме пренумерандо в размере $500 на условии 8% годовых, начисляемых каждые 6 месяцев. Какая сумма будет на счете через 5 лет? Как изменится эта сумма, если проценты будут начисляться раз в год?

4. Проанализируйте 2 варианта накопления средств по схеме аннуитета постнумерандо. План 1: вносится вклад на депозит $500 каждые полгода при условии, что банк начисляет 8% подовых с полугодовым начислением процентов. План 2: делается ежегодный вклад в размере $1000 на условиях 9% годовых при ежемесячном начислении процентов. Определите:

а) какая сумма будет на счете через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?

б) изменится ли ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8,5%?

5. Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50 000 д.е. с последующим ежегодным наполнением суммами по 10 000 д.е. Ставка по депозиту равна 10% годовых. Найти величину фонда к концу 4-го года.

6. Корпорация планирует покупку земельного участка, стоимость которого равна 100 000 руб. Какова должна быть величина взноса для создания соответствующего фонда в течение 10 лет, если ставка равна а) 5%; б)10%; в) 12%?

7. Сколько лет понадобится для выплаты долга в 10 000 д.е. равными платежами по 2309,75 д.е. при процентной ставке в 5%?

8. За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в 5 раз по сравнению с годовой суммой взносов, если последние осуществляются непрерывно и равномерно в пределах года? На взносы начисляются проценты, сила роста 8%.

9. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн. руб. Последующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн. руб. Начисление процентов производится по ставке 20% годовых. Срок выплат – десять лет. Найти современную стоимость и наращенную сумму.

10. Сбыт продукции будет увеличиваться в течение 2-х лет – каждый квартал на 25 млн. руб. Определить наращенную сумму к концу срока при условии, что поступление денег – постнумерандо.

11. В задаче 9 пусть члены ренты увеличиваются каждый год на 12%. Найти наращенную сумму и современную стоимость.

12. В задаче 11 пусть условия те же. Какой должен быть ежегодный прирост, который не изменит величину современной стоимости?

13. В течение 3 лет намечается увеличивать ежегодно выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска – 10 млрд. руб. Определить суммарный стоимостной объем выпуска с начислением процентов – сила роста 8%.

14. Капиталовложения составят 1000 млн. руб., начальная отдача от них оценивается в сумме 300 млн. руб. в год. Предположим, что отдача будет непрерывно увеличиваться в течение всего периода эксплуатации (5 лет) – по 10 млн. в год. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста и годовой процентной ставки?

15. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если Y = 100, i = 7% и n = 3 года.

16. Найти вероятность двадцатилетнего мужчины дожить до 40 лет.

17. Найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 20 лет. Пусть процентная ставка – 9%.

18. Найти величину премии в виде доли от страховой суммы для 20-летнего мужчины при немедленном пожизненном страховании жизни.

19. Найти стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для 20-летнего мужчины:

а) при ежегодной выплате 1 тыс. руб.;

б) при ежемесячных выплатах.

20. Определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 20 лет. Размер годовой пенсии 10 000 руб., выплата пренумерандо с 60 лет пожизненно.

а) Отложенный пожизненный аннуитет пренумерандо;

б) Если бы пенсия страховалась в 60 лет, то аннуитет немедленный.

21. Пусть 20-летний мужчина вносит премию в рассрочку в течение 5 лет, пенсия пожизненная в размере 10000 р. в год. Оба потока платежей (премия и выплаты) пренумерандо. Найти размер премии.

22. Пусть выплаты пренумерандо мужчине должны производиться в размере 10000 р. в год. Если i = 9%, n = 15. Найти необходимый размер разового взноса.

б) если это страховая пенсия, то стоимость 15-летней выплаты пенсии в 60 лет составит 10000.

Задачи по теме: Анализ кредитных операций. Расчеты амортизации займа

1. Долг в сумме 10000 руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 5% годовых. Составьте план амортизации займа.

2. Пусть долг равен 10000 р. и выдан под 10% годовых. Для погашения долга предполагается выделять сумму порядка 2000 р. в год. Оценить величину срока, необходимого для погашения задолженности.

3. Долг в размере 10000 р. решено погасить по специальному графику за 4 года – размеры расходов по погашению долга по годам: 4000, 2000 и 3000. Остаток выплачивается в конце четвертого года. План погашения составьте при условии, что ставка процента по долгу составляет 10%.

4. Пусть выплаты по займу уменьшаются каждый год на 10%. Общий срок погашения – 5 лет; первоначальная сумма долга – 10000 руб.; ставка процента по долгу – 5%. Составьте план амортизации займа.

Задачи по теме: Форфейтные операции

1. Продавцом в уплату за товар Р = 10000 руб. выписано четыре векселя с погашением по полугодиям. Ставка процентов за кредит – 10% годовых (простых). Определить процентные платежи и суммы векселей двумя способами.

2. В предыдущей задаче пусть учетная ставка 9,5% годовых. Найти корректирующий множитель Z₁.

3. Каков должен быть уровень процентной ставки за кредит для того, чтобы покупатель не понес ущерба в операции а форфэ при условии, что d=4,75%. Данные взять из задачи № 1.

4. По данным задачи № 1, при условии, что ставка, которая характеризует средний уровень среднего процента на рынке, равна 15% годовых, найти современную величину платежей W₁ (Z₁ из задачи № 2).

5. По данным задачи № 4 найти W₂.

Задачи по теме: Расчеты по формированию портфеля ценных бумаг

1. Оценить текущую стоимость облигации номиналом $ 1000, купонной ставкой 9% годовых и сроком погашения через 3 года, если рыночная норма прибыли равна 7%.

2. Ожидаемая доходность акций А и Б равна соответственно 10 и 20%; их стандартное отклонение равно 5 и 60%. Коэффициент корреляции между доходностями акций равен 0,5. Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 40% из акций А и на 60% из акций Б.

3. Вычислить текущую цену бессрочной облигации, если выплачиваемый по ней годовой доход составляет 100 т. руб., а рыночная доходность – 12%.

4. Последний выплаченный дивиденд по акции равен $ 1. Ожидается, что он будет возрастать в течение следующих трех лет с темпом 14%, а затем темп прироста стабилизируется на уровне 5%. Какова цена акции, если рыночная норма прибыли 15%.

5. Куплена акция за $ 50; прогнозируемый дивиденд следующего года составит $ 2. Ожидается, что в последующие годы этот дивиденд будет возрастать с темпом 10%. Какова приемлемая норма прибыли, использованная инвестором при принятии решения о покупке акции?

6. Найти стоимость опциона купли, если цена актива равна 75 у.е., цена исполнения – 50 у.е., процентная ставка – 10% годовых, срок действия – 1 год. Цена актива будет двигаться вверх и вниз на 25% в течение года.

7. Найти цену трехмесячного опциона купли, где цена актива и цена исполнения равны 40 у.е., краткосрочная ставка процента – 10% годовых, а волатильность (s) равна 20%.

Задачи по теме: Измерение эффективности инвестиций. Анализ рисков инвестиционных проектов

1.     Имеются данные о 4-х проектах:

Полагая, что цена капитала составляет 12% ответьте на вопросы:

а) какой проект имеет наибольший NPV?

б) какой проект имеет наименьший NPV?

в) чему равно значение IRR проекта П1?

г) чему равно значение IRR проекта П1, если денежные потоки 3-го года считаются слишком непредсказуемыми и потому должны быть исключены из расчета?

2. Предприятие имеет возможность инвестировать а) до 55 млн. р.; б) до 90 млн. р., при этом цена капитала составляет 10%. Составьте оптимальный инвестиционный портфель из следующих альтернативных проектов (млн. р.):

3. Предприятие рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии. На рынке имеются 2 модели со следующими параметрами ($):

Обоснуйте целесообразность приобретения той или иной технологической линии.

4. Средний период погашения дебиторской задолженности на предприятии равен 80 дням. В результате опроса экспертов составлены следующие сценарии возможного развития экономической ситуации:

Провести анализ оценки вероятностного распределения значений показателей NPV. В частности определить вероятность того, что значение NPV будет больше ожидаемой средней на величину 2-х стандартных отклонений.