КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Таблица выбора вариантов индивидуального задания

1. При прямолинейном движении зависимость пройденного телом пути от времени описывается уравнением S = A+Bt+Ct²+Dt³, где В = 2 м/с , С = 0,14 м/с², D = 0,1 м/с³. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно а) 1 м/с²; б) 6 м/с²? Чему равна средняя скорость тела за промежуток времени, в течение которого ускорение возросло от 1 м/с² до 6 м/с²?

2. Зависимость координаты тела от времени задана уравнением x = At+Bt²+Ct³, где A = 12 м/c, B = –3 м/с², C = –4 м/c³. Найти в явном виде зависимость скорости и ускорения от времени; расстояние, пройденное телом, мгновенные скорость и ускорение тела через 2 секунды после начала движения; среднюю скорость за промежуток времени от t₁ = 2c до t₂ = 5с.

3. Две  материальные  точки  движутся  согласно  уравнениям:  x₁  = A₁t+B₁t²+C₁t³; x₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₁ = 4 м/с, В₁ = 8 м/с², С₁ = –16 м/с³; А₂ = 2 м/с, В₂ = –4 м/с², С₂ = 1 м/с³. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент. Найти среднюю скорость второй материальной точки за промежуток времени с момента начала движения до момента равенства их ускорений.

4. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x₁ = A₁t+B₁t²+C₁t³; x₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₁ = 20 м/с, В₁ = 2 м/с², С₁ = –4 м/с³; А₂ = 2 м/с, В₂ = 2 м/с², С₂ = 0,5 м/с³. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент. Найти среднюю скорость первой точки за промежуток времени с момента начала движения до момента равенства их скоростей.

5. Движение материальной точки задано уравнением x = Аt+Вt², где А = 4 м/с, В = –0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти путь, пройденный точкой, координату и ускорение точки в этот момент. Найти среднюю скорость точки за промежуток времени с момента начала движения до момента равенства ее скорости нулю.

6. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x₁ = A₁+B₁t²+C₁t³; x₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₁ = –12 м, В₁ = –2 м/с², С₁ = 8 м/с³; А₂ = –4 м/с, В₂ = –3 м/с², С₂ = 8 м/с³. В какой момент времени координаты этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент. Найти среднюю скорость первой точки за промежуток времени с момента начала движения до момента равенства их координат.

7. Уравнение движения тела имеет вид х = 15t – 0,4t². Определить промежуток времени после начала движения, в течение которого точка вернется в исходное положение. Найти путь, пройденный точкой и ее среднюю скорость за этот промежуток времени.

8. Уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид х = А+Вt+Сt², где А = 4 м, В = 2 м/с, С = –0,5 м/с². Для момента времени t₁ = 2 секунды определить координату точки и мгновенное ускорение. Найти путь, пройденный точкой, и среднюю скорость за промежуток времени от t₁ = 2с до t₂ = 6с.

9. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением S = A–Bt+Ct²+Dt³, где А = 6 м, В = 3м/с, С = –2 м/с², D = 0,2 м/с³. Считая движение прямолинейным, определить для тела в интервале времени от t₁ = 1 c до t₂ = 4 с

1) среднюю скорость; 2) путь, пройденный телом; 3) в какой момент времени после начала движения точка вернется в исходное положение?

10. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:x₁ = A₁t +C₁t³; x₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₁ = 14 м/с, С₁ = –6 м/с³; А₂ = 2 м/с, В₂ = 4 м/с², С₂ = –5 м/с³. В какой момент времени t₁ ускорение первой точки будет вдвое больше ускорения второй? Найти скорости точек в этот момент. Найти среднюю скорость первой точки за промежуток времени с момента начала движения до момента времени t₁.

11. Тело некоторой массы скользит вниз по наклонной плоскости с постоянным ускорением, равным 0,05g. Найти угол наклона этой плоскости, если коэффициент трения равен 0,02.

12. За какое время тело спустится с вершины наклонной плоскости высотой 3 м и углом у основания 60 ⁰ , если максимальный угол у основания наклонной плоскости, при котором тело находится на ней в покое, равен 30 ⁰ ?

13. Тело массой m скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 45 0 . Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением s = Ct², где С = 1,73 м/с 2 . Найти коэффициент трения тела о плоскость.

14. На автомобиль массой 1т во время движения действует сила трения, равная 0,1 действующей на него силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением 1 м/с² в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

15. По наклонной плоскости с углом a наклона к горизонту, равным 30 0 , скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения m = 0,15.

16. С каким ускорением будет скользить тело по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол a = 24 0 , если коэффициент трения равен 0,03? Какое время потребуется для прохождения при этих условиях пути 100 м? Какую скорость тело будет иметь в конце пути?

17. С вершины клина, длина которого l = 2 м и высота h = 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином m = 0,15. Определить: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

18. На автомобиль массой 2 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 действующей на него силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

19. Тело некоторой массы равномерно скользит вниз по наклонной плоскости. Найти угол наклона этой плоскости, если коэффициент трения равен 0,05.

20. Тело скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 45º. Пройдя путь 36,4 см, тело приобретает скорость 2 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость.

21. Маховик, момент инерции которого равен J = 63,7 кг × м ² , вращается с постоянной угловой скоростью w = 31,4 рад/с. Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через t = 20 с. Маховик считать однородным диском.

22. Определить, какая постоянная касательная сила приложена к ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м и массой 24 кг, если при вращении на него действует момент сил трения 2 Н × м . Угловое ускорение диска постоянно и равно 16 рад/ с ² .

23. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг × м ² , вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти момент сил трения.

24. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения 5 Н × м . Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным ускорением e = 100 рад/с ² .

25. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг × м ² , вращается с частотой n = 240 об/мин. Через время t = 1 мин как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить момент сил торможения.

26. Вал массой m = 100 кг и радиусом R 5 см вращался с частотой n = 8 с ^-1 . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой N = 40 Н, под действием которой вал остановился через t = 10 с. Определить коэффициент трения.

27. Диск массой m = 2 кг и радиусом R = 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение движения диска имеет вид j = Сt ³ , где С = - 1рад/с ³ . Определить вращающий момент М в момент времени t = 2 с, если момент сил торможения постоянен и равен 12 Н × м .

28. Маховик радиусом 0,5 м, вращаясь равнозамедленно, за 10 секунд изменил частоту вращения от 480 до 120 об/мин. Тормозящий момент постоянен и равен 40 Н × м . Определить массу маховика.

29. К шару радиусом 0,2 м приложена касательная сила 100 Н. При вращении вокруг оси, проходящей через центр масс, на шар действует момент сил трения 5 Н × м . С каким угловым ускорением вращается шар, если его масса 15 кг?

30. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг × м ² , вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n    = 240 об/мин до n ₁ = 120 об/мин. Определить момент силы торможения.

31. На нитях одинаковой длины, равной 2,5 м, закрепленных в одной точке, подвешены два шарика массами 75 г и 100 г, соответственно. Нить с большим шариком отклонили на угол 60 градусов и отпустили. Считая удар абсолютно неупругим, определить, на какую высоту поднимутся шарики после соударения.

32. Пуля массой 15 г, летящая с горизонтальной скоростью 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник¹ массой 6 кг и застревает в нем. Определить высоту, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.

33. Два тела массами 3 кг и 5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 7 м/с и 9 м/с. Найти скорость движения тел после соударения и выделившуюся при неупругом ударе энергию.

34. Пуля массой 15 г, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, попадает в баллистический маятник¹⁾ длиной 1 м и массой 1,5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника.

35. Тело массой 3 кг движется со скоростью 2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе.

36. Пуля массой 12 г, летящая с горизонтальной скоростью 0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой 10 кг, висящий на длинной нити, и застревает в нем. Определить: 1) высоту, на которую поднимется мешок, отклонившись после удара; 2) энергию, израсходованную на пробивание песка.

37. На нитях одинаковой длины, равной 0,8 м, закрепленных в одной точке, подвешены два шарика массами 40 г и 60 г, соответственно. Нить с меньшим шариком отклонили на угол 60 градусов и отпустили. Считая удар неупругим, определить, какая энергия пошла на нагревание шариков.

38. Пуля массой 9 г, летящая с горизонтальной скоростью 0,6 км/с, попадает в баллистический маятник массой 8 кг и застревает в нем. Определить выделившуюся при этом энергию.

39. Тело массой 8 кг движется со скоростью 3 м/с и ударяется о движущееся со скоростью 1 м/с в том же направлении тело вдвое большей массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе.

40. На нитях одинаковой длины, равной 1,2 м, закрепленных в одной точке, подвешены стальной и пластилиновый шарики одного размера массой 20 г и 8 г, соответственно. Нить со стальным шариком отклонили на угол 45 градусов и отпустили. Определить, на какую высоту поднимутся шарики после соударения.

41. Частица движется со скоростью v = 0,8c, где с – скорость света в вакууме. Определить: 1) отношение массы релятивистской частицы к ее массе покоя; 2) релятивистский импульс и полную энергию, если эта частица – электрон.

42. Определить, на сколько процентов масса релятивистской частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью v = 0,75c, где с – скорость света в вакууме, больше ее массы покоя. Определить кинетическую энергию этой частицы, если она – протон.

43. Определить скорость движения релятивистской частицы, если ее масса в два раза больше массы покоя. Найти полную энергию этой частицы, если ее масса совпадает с массой покоя ядра атома гелия.

44. Определить релятивистский импульс, полную и кинетическую энергии протона, если скорость его движения v = 0,8c, где с – скорость света в вакууме.

45. Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определить скорость этой частицы и релятивистский импульс, если предположить, что эта частица – нейтрон.

46. Определить скорость и релятивистский импульс электрона, если его кинетическая энергия равна энергии покоя.

47. Определить массу, кинетическую и полную энергии протона, движущегося со скоростью v = 0,75c, где с – скорость света в вакууме.

48. Определить релятивистский импульс и полную энергию альфа – частицы, кинетическая энергия которой равна 3,6^. 10 ^–9 Дж.

49. Определить скорость движения протона, при которой его кинетическая энергия равна 7,7^. 10 ^–11 Дж. Найти его релятивистский импульс и полную энергию.

50. Определить релятивистский импульс, кинетическую и полную энергии нейтрона, движущегося со скоростью v = 0,95c, где с – скорость света в вакууме.

51. Определить скорость и ускорение материальной точки через 5 с после начала движения, если она совершает гармонические колебания, согласно уравнению x = 0,02 cos( pt + p / 3) , м. Написать уравнение для силы, вызывающей это движение, если масса точки 11 г.

52. Точка массой 20 г совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см и периодом 5 с под действием некоторой периодической силы. Определить для точки максимальные скорость, ускорение и действующую силу.

53.  Определить максимальную скорость точки, совершающей гармонические колебания по закону x = 3 cos( pt / 2 + p / 8) ,м. Найти массу этой точки, если максимальная сила, вызывающая эти колебания, равна 12 Н.

54. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t ) = -6 sin( 2pt ) , м/с. Записать зависимость смещения этой точки от времени. Найти силу, действующую на точку в момент времени t = 6 с, если масса точки 4 г.

55. Определить скорость и ускорение материальной точки через 3 с после начала движения, если она совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,02 cos( pt + p / 4) , м. Найти силу, действующую на точку через 20 с после начала движения, если масса точки 2 г.

56. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки равна 5 см, период – 4 с. Найти максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки. Найти силу, действующую на точку через 2 с после начала движения, если масса точки 10 г, а начальная фаза равна 120º.

57. Уравнение движения материальной точки x = 2 sin( pt / 2 + p / 4) , см. Найти максимальную скорость точки и ее максимальное ускорение, а также силу, действующую на эту точку в начальный момент времени, если масса точки 7 г.

58. Уравнение движения материальной точки x = sin( pt / 6) , м. Найти моменты времени, в которые достигаются минимальные по модулю скорость и ускорение. Найти силу, действующую на точку через 10 с после начала движения, если масса точки 12 г.

59. Определить максимальные по модулю значения скорости и ускорения материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 3 см и угловой частотой w = p / 2 c ^-1 . Найти силу, действующую на точку через 3 с после начала движения, если масса точки 30 г, а начальная фаза колебаний 60º.

60. Точка совершает колебания по закону x = A cos( wt) , где А = 5 см, w = 2c ^-1 . Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость равна 8 см/с. Написать уравнение для силы, вызывающей это движение, если масса точки 9 г.

61. На концах тонкого стержня длиной 30 см укреплены одинаковые грузы по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на 10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину и период колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.

62. На стержне длиной 30 см укреплены два одинаковых груза: один в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину и период колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

63. Математический маятник длиной 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние от центра масс стержня до оси колебаний.

В задачах 64–67 физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным на нем маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить период гармонических колебаний маятника, изображенного на рисунке. Длина стержня L = 1 м. Шарик рассматривать как материальную точку.

В задачах 68–70 физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами m и 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить частоту гармонических колебаний маятника, изображенного на рисунке. Длина стержня L = 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки.

В задачах 71– 80 в сосуде вместимостью V = 0,01 м ³ содержится смесь двух газов массами m₁ и m ₂ при температуре Т. Определить давление р , концентрацию n и плотность r смеси газов.

71. Кислород m₁ = 20 г и азот m₂ = 3 г, Т = 400 К;

72. Кислород m₁ = 15 г и водород m₂ = 2 г, Т = 300 К;

73. Азот m₁ = 7 г и водород m₂ = 1 г, Т = 280 К;

74. Гелий m₁ = 6 г и кислород m₂ = 7 г, Т = 420 К;

75. Углекислый газ m₁ = 17 г и кислород m₂ = 9 г, Т = 500 К;

76. Гелий m₁ = 3 г и водород m₂ = 2 г, Т = 550 К;

77. Гелий m₁ = 3 г и азот m₂ = 30 г, Т = 700 К;

78. Углекислый газ m₁ = 25 г и азот m₂ = 32 г, Т = 650 К;

79. Углекислый газ m₁ = 31 г и водород m₂ = 3 г, Т = 420 К;

80. Углекислый газ m₁ = 7 г и гелий m₂ = 4 г, Т = 720 К.

81. Азот, находившийся в состоянии 1 с параметрами р₁ = 0,2 МПа, Т ₁ = 450 К, V₁ = 2л, изотермически перевели в состояние 2 с объемом V ₂ = 6 л. Затем адиабатно объем газа был увеличен до V  = 9 л. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

82. Гелий, находящийся в состоянии 1 при давлении р₁ = 0,25 МПа, температуре Т ₁ = 550 К и занимающий объем V₁ = 2,5л, изобарно перевели в состояние 2 с температурой Т₂ = 650 К. Затем адиабатно объем газа был увеличен на 3 л. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

83. Кислород, находящийся в состоянии 1 при давлении р₁ = 0,25 МПа, температуре Т ₁ = 550 К и занимающий объем V₁ = 2,5л, изохорно перевели в состояние 2 с температурой Т₂ = 650 К. Затем адиабатно давление газа было уменьшено в 2 раза. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

84. Водород, находящийся в состоянии 1 ( р1 = 0,1 МПа, Т 1 = 300 К, V1 = 1л), перевели в состояние 2, адиабатно уменьшив давление на 20%. Затем изобарно объем газа был увеличен до V   = 2 л. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

85. Гелий, находящийся в состоянии 1 (р₁ = 310 кПа, Т₁₁ = 400 К, V₁ = 10 л), перевели в состояние 2, адиабатно увеличив давление в два раза. Затем изотермически объем газа был увеличен на 6 литров. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

86. Кислород, находящийся в состоянии 1 (р₁ = 230 кПа, Т₁ = 450 К, V₁ = 20 л), перевели в состояние 2, адиабатно уменьшив объем в три раза. Затем изохорно температура газа была увеличена на 100 К. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

87. Кислород, находящийся в состоянии 1 при давлении р₁ = 250 кПа, температуре Т₁ = 550 К и занимающий объем V₁ = 12 л, изотермически перевели в состояние 2 с объемом V₂ = 6 л. Затем адиабатно объем газа был уменьшен на два литра. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2)  изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

88. Азот, находящийся в состоянии 1 при давлении p₁ = 220 кПа, температуре Т₁ = 430 К и занимающий объем V₁ = 25 л, изобарно перевели в состояние 2, уменьшив объем на семь литров. Затем адиабатно давление газа было уменьшено на 30%. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

89. Гелий, находящийся в состоянии 1 при давлении p₁ = 150 кПа, температуре Т₁ = 500 К и занимающий объем Т₁ = 12,5л, изотермически перевели в состояние 2 с объемом 6,5 литра. Затем адиабатно температура газа была уменьшена на 100 К. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

90. Водород, находящийся в состоянии 1 при давлении р₁ = 0,25 МПа, температуре Т ₁ = 550 К и занимающий объем V₁ = 2,5л, изохорно перевели в состояние 2 с давлением р₂ = 0,5 МПа. Затем адиабатно объем газа был увеличен в 1,5 раза. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

91. Определить изменение энтропии 14 г азота при изобарном нагревании его от 27 ºС до 127 ºС.

92. Как изменится энтропия 2 молей углекислого газа при изотермическом расширении, если объем газа увеличился в четыре раза?

93. Найти изменение энтропии при нагревании 2 кг воды от 0 до 100 ºС и последующем превращении ее в пар при той же температуре. Удельная теплоемкость воды – 4190 Дж/кг К, удельная теплота парообразования –2,26·10⁶ Дж/кг.

94. Определить изменение энтропии при затвердевании 2 кг свинца и дальнейшем его охлаждении от 327 до 0 ºС. Удельная теплота плавления свинца – 0,25× 10 ⁵ Дж/кг, удельная теплоемкость свинца – 120 Дж/кг К.

95. Определить изменение энтропии при плавлении 1 кг льда, находившегося при температуре 0 ºС, и последующем нагревании воды до температуры 57 ºС. Удельная теплота плавления льда – 3,35× 10 ⁵ Дж/кг, удельная теплоемкость воды – 4190 Дж/кг К

96. В результате изохорного нагревания водорода массой 1 г давление газа увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии газа.

97. Найти изменение энтропии при изобарном расширении азота массой 4 г от объема V₁ = 5 л до объема V₂ = 9 л.

98. Объем кислорода массой 1 кг был увеличен в 5 раз в результате изотермического расширения. Найти изменение энтропии газа.

99. Объем кислорода массой 2 кг был увеличен в 5 раз в результате адиабатного расширения. Найти изменение энтропии газа.

100. Во сколько раз необходимо увеличить объем 10 г водорода, чтобы при изотермическом расширении его энтропия увеличилась на 57,6 Дж/К?