Индивидуальный вариант выбирается в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки

Механика

1.01. Точка двигалась в течение t₁=15 с со скоростью V₁=5 м/с, в течение t₂=10 с со скоростью V₂=12 м/с и в течение t₃=5 с со скоростью V₃=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость <V> точки.

1.02. Три пятых своего пути автомобиль прошел со скоростью V₁ =60 км/ч, оставшуюся часть пути - со скоростью V₂=90 км/ч. Какова средняя путевая скорость <V> автомобиля?

1.03. Уравнение прямолинейного движения имеет вид х = At+Bt² , где А=2 м/с, В=-0,35 м/с². Определить скорость и ускорение в момент времени t=3c. Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного уравнения движения.

1.04. Движение материальной точки задано уравнением х = A+Bt² , где А=3 м/с, В = -0,15 м/с². Определить момент времени, в который скорость V точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.05. Из одной и той же точки начали равноускоренно двигаться в одном направлении два тела, причем второе начало свое движение через 1 с после первого. Первое тело двигалось с начальной скоростью V₁ = 1 м/с и ускорением а₁ = 2 м/с², второе - с начальной скоростью V₂ = 10 м/с и ускорением a₂= 1 м/с². Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения второе тело догонит первое?

1.06. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте H = 12 м? Найти скорость V камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.07. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с². Определить полное ускорение а точки на участке кривой с радиусом кривизны R = 5 м, если точка движется на этом участке со скоростью 3 м/с.

1.08. Движение точки по окружности радиусом R=2 м задано уравнением φ=А+Вt+Ct², где A=10 м, В=-3 м/с, С=2 м/с³. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени t=2 с.

1.09. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки a_n=5 м/с²; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол 45°. Найти скорость V и тангенциальное ускорение точки.

1.10. Диск радиусом r=10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением ε=0,5 рад/с². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце третьей секунды после начала движения.

1.11. На столе стоит тележка массой m=5 кг. К тележке привязана нерастяжимая невесомая нить, перекинутая через блок. С каким ускорением будет двигаться тележка, если к другому концу нити привязать груз массой 1 кг?

1.12. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m₁=5 кг и m₂=3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

1.13. Два бруска массами m₁=5 кг и m₂=4 кг, соединенные нитью, лежат на гладком столе. С каким ускорением и будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F=10 Н, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения T нити, соединяющей бруски, если силу приложить к первому бруску? ко второму бруску?

1.14. Наклонная плоскость, образующая угол 30 ° с плоскостью горизонта, имеет длину L=4 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t=5 с. Определить коэффициент трения k тела о плоскость.

1.15. Молот массой m=1 т падает с высоты Н=2 м на наковальню. Длительность удара t=0,02 с. Определить среднее значение силы <F> удара.

1.16. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью V=20 м/с, остановилась через t=40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лед.

1.17. Шарик массой m=200 г упал с высоты Н=5 м на стальную горизонтальную плиту, масса которой много больше массы шарика, и отскочил от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, определить импульс, полученный плитой.

1.18. Шарик массой m=300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость V=10 м/с, направленную под углом  30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

1.19. Брусок массой m₁ = 5 кг может свободно скользить по горизонтальной поверхности без трения.  На нем находится другой брусок массой m₂ = 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков k=0,3. Определить максимальное значение силы, приложенной к нижнему бруску, при которой начнется соскальзывание верхнего бруска.

1.20. Начальная скорость пули равна 500 м/с. При движении в воздухе за время t = 0,5 с ее скорость уменьшилась до  200 м/с. Масса  пули равна 10 г. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент сопротивления k.

1.21. Шар массой m₁=10 кг, движущийся со скоростью V₁=4 м/с сталкивается с шаром массой m₂=4 кг, скорость V₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, абсолютно неупругим, найти скорость шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

1.22.  В лодке массой M=300 кг стоит человек массой m=75 кг. Лодка плывет со скоростью 3 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки.

1.23. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека m=75 кг, масса доски M=40 кг. С какой скоростью относительно земли будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) V=1 м/с?

1.24. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием М = 10 т. Орудие стреляет вверх под углом 30° к горизонту в направлении пути. С какой скоростью покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m=50 кг и он вылетает со скоростью V=500 м/с?

1.25. Снаряд массой m=10 кг в верхней точке траектории обладает скоростью V=300 м/с. В результате разрыва на две части, меньшая массой m₁=3 кг получила скорость  400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость второй, большей части после разрыва.

1.26. Два конькобежца массами m₁=80 кг и m₂=60 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает выбирать шнур со скоростью V=1 м/с. С какими скоростями будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

1.27. Шар массой m₁=10 кг, движущийся со скоростью V₁=4 м/с сталкивается с шаром массой m₂=4 кг, скорость V₂ которого равна 10 м/с, движущимся навстречу. Считая удар прямым, абсолютно упругим, найти скорость шаров после удара.

1.28. Два человека массами m₁=75 кг и m₂=90 кг  неподвижно стоят на льду один против другого. Первый толкает второго и при этом начинает двигаться со скоростью V=0,9 м/с. С какой скоростью будет двигаться по льду второй человек? Трением пренебречь.

1.29. Тележка массой 120 кг двигается горизонтально со скоростью 5 м/с. В нее вертикально падает мешок с песком массой 50 кг и при этом разрывается. Песок начинает высыпаться. Определить скорость тележки после того, как весь песок высыпится. Трением и массой мешка пренебречь.

1.30. Два человека, массами m₁=60 кг и m₂=70 кг,  неподвижно стоят на льду. Первый бросает камень массой 2 кг под углом 30 градусов к горизонту со скоростью 12 м/с. Определить с какой скоростью они будут двигаться, если второй поймал брошенный камень? Трением пренебречь.

1.31. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой m=200 кг на высоту H =10 м за время t=2 с.

1.32. Вычислить работу А, совершаемую на пути L = 20 м равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила F₁ = 10 Н, в конце пути F₂ = 34 Н.

1.33. Насос выбрасывает струю воды диаметром d = 2 см со скоростью V = 20 м/с. Найти мощность, необходимую для выбрасывания воды.

1.34. С какой наименьшей высоты Н должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.

1.35. Пуля массой m = 10 г, летевшая со скоростью v = 600 м/с, попала в шар массой М = 5 кг и застряла в нем. Шар подвешен на нити длиной 1 м. На какую высоту H, откачнувшись после удара, поднялся шар?

1.36. Два груза массами m₁=12 кг и m₂= 15 кг подвешены на нитях длиной L=1 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол  60° и отпущен. Определить высоту H, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать абсолютно неупругим.

1.37. Шар массой 1 кг, летящий со скоростью V₁ = 5 м/с, ударяет неподвижный шар массой 5 кг. Удар прямой, абсолютно неупругий. Определить скорость и шаров после удара, а также долю w кинетической энергии летящего шара, израсходованной да увеличение внутренней энергии этих шаров.

1.38. Молот массой m=10 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса M наковальни равна 100 кг, Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить к.п.д. удара молота при данных условия.

1.39. Молотком, масса которого M = 1 кг, забивают в стену гвоздь массой m = 75 г. Определить к.п.д. удара молотка при данных условиях.

1.40. Определить максимальную часть кинетической энергии, которую может передать частица массой 1 г, сталкиваясь упруго с частицей массой 2 г, которая до столкновения покоилась.

1.41. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и преходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

1.42. Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами а = 10 см и b = 15 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ = 0,1 кг/м.

1.43. На концах тонкого однородного стержня длиной L и массой m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, лежащую на оси стержня и отстоящую на расстоянии l от меньшего груза. При расчетах принять L = 1 м, m = 0,2 кг, l=0,3 м. Шарики рассматривать как материальные точки.

1.44. Найти момент инерции однородного кольца внутренним радиусом R₁=10 см и внешним R₂=20 см, массой m = 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

1.45. Определить момент инерции кольца массой m = 250 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу.

1.46. Диаметр диска d=30 см, масса m=1 кг. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

1.47. Тонкий однородный стержень длиной L = 60 см и массой m = 300 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

1.48. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁ = 100 г и m₂ =110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

1.49. Два тела массами m₁ = 0,25 кг и m₂ = 0,5 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок. Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m = 0,2 кг. С каким ускорением движутся тела и каковы силы натяжения нити по обе стороны от блока? Коэффициент трения тела о поверхность стола равен 0,05. Масса блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением и подшипниках оси блока пренебречь.

1.50. Через неподвижный блок массой m=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁=0,3 кг и m₂=0,5 кг. Определить силы натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

1.51. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,5 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамья равен 6 кг·м²?

1.52. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 1,6 м, стоит человек массой m = 75 кг. Масса платформы M=240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v = 2 м/с относительно платформы.

1.53. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m = 65 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы равна 130 кг.

1.54. Платформа в виде диска радиусом R = 5 м вращается по инерции с частотой n₁ = 5 мин ^-1. На краю платформы стоит человек, масса которого равна 90 кг. С какой частотой n₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен 135 кг·м². Момент инерции человека принять, как для материальной точки.

1.55. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной L = 2 м и массой m = 10 кг, расположенный горизонтально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой n = 1 с^-1. С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в вертикальное положение? Суммарный момент инерции  человека и скамьи равен 8 кг·м².

1.56. Человек стоит па скамье Жуковского и держит в руках стержень расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи.  На стержне закреплено колесо, вращающееся с частотой n = 10 с^-1. Момент инерции колеса 1 кг·м². Определить частоту вращения скамьи, если человек повернет стержень на угол 180°. Суммарный момент инерции человека и скамьи равен 10 кг·м² и в начальный момент времени они неподвижны.

1.57. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ = A+Вt+Сt², где А = 5 рад, В = 12 рад/с. С = -2 рад/с². Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении до остановки, если его момент инерции равен 100 кг·м².

1.58. Вал двигателя вращается с частотой n = 10000 мин ^-1. Определить вращающий момент, если мощность двигателя N = 800 Вт.

1.59. Стержень массой M = 10 кг и длиной 2 м подвешен за один из концов. Вдругой конец стержня попадает  пуля массой m = 10 г, движущаяся горизонтально со скоростью 250 м/с. Определить на какой угол отклонится стержень после попадания пули. Удар считать абсолютно неупругим.

1.60. Маховик в виде диска массой m = 100 кг и радиусом R = 1 м находится в состоянии покоя. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = 10 с^-1? Какую работу пришлось бы совершить, если бы начальная частота вращения была n = 3 с^-1?

1.61. Определить силу взаимного притяжения двух соприкасающихся железных шаров диаметром D = 1 м каждый.

1.62. Радиус Марса равен R = 3,4 Мм, масса М =  6,4·10²³ кг Определить напряженность гравитационного поля на поверхности Марса.

1.63. Радиус Земли в 3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в 1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения на поверхности Луны.

1.64. Радиус малой планеты равен 250 км, средняя плотность 500 кг/м³.  Определить ускорение свободного падения на поверхности планеты.

1.65. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте 300 км. Определить линейную скорость спутника и период его вращения.

1.66. Зная период обращения Земли вокруг Солнца определить расстояние от Солнца до Земли. Масса Солнца 1,98·10³⁰ кг.

1.67. Период вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте над поверхностью Земли движется спутник. Определить его скорость.

1.68. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость спутника и радиус его орбиты.

1.69. Планета Нептун в 30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить период обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца.

1.70. Определить работу, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой 10 кг упадет на поверхность Земли: 1) с высоты 1000 км; 2) из бесконечности.

1.71. Пружина жесткостью k = 10 кН/м сжата силой F = 200 Н. Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину еще на 2 см.

1.72. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на 5 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты 15 см?

1.73. Две пружины с жесткостями k₁ = 0,2 кН/м и k₂ = 0,7 кН/м скреплены последовательно и растянуты так, что их абсолютная деформация равна 3 см. Вычислить работу растяжения пружин.

1.74. Две пружины, жесткости которых k₁ = 0,2 кН/м и k₂ = 0,7 кН/м, скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации 5 см.

1.75. С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой 5 г, если пружина была сжата на 3 см. Жесткость пружины равна 500 Н/м?

1.81. Предположим, что мы можем измерять длину стержня с точностью 0,1 мкм. При какой относительной скорости двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, если собственная длина стержня равна 2 м?

1.82. Фотонная ракета движется относительно наблюдателя со скоростью 0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения  наблюдателя?

1.83. Полная энергия тела возросла на 1 кДж. Как при этом изменится масса тела?

1.84. Кинетическая энергия электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона,

1.85. При какой скорости кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

1.91. Точка совершает колебания с амплитудой А = 2 см и периодом Т = 5 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в начальный момент времени смещение равно 1 см. Определить начальную фазу и максимальную скорость точки.

1.92. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 4 см и угловой частотой 3,14 с^-1.

1.93. Точка совершает колебания по закону х=5cos(2t). Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость  0,3 м/с.

1.94. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость 10 см/с. Найти угловую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.

1.95. Точка совершает колебания по закону х=Acos(2t). В некоторый момент времени смещение точки оказалось равным 4 cм. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение стало равным 5 см. Найти амплитуду А колебаний.

1.96. Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления; х₁=5cos(2t+0,5π) и х₂=2cos(2t). Найти уравнение результирующего колебания.

1.97. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х=3cos(2t-0,5π) и y=2cos(2t). Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

1.98. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на 5 см. Каков будет период колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

1.99. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 4 см. Определить полную энергию колебаний гири, если жесткость пружины равна 1 кН/м.

1.100. Математический маятник длиной 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением 2,5 м/с². Определить период колебаний маятника.