ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМУ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
MATHEMATICA
Индивидуальное задание этой лабораторной работы подразумевает самостоятельное выполнение в системе Mathematica приведенных выше примеров.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
Составить систему линейных алгебраических уравнений, выбрав коэффициенты и свободные члены из табл. 2.1 согласно шифру (см. указания к работе). Решить эту систему методом исключения Гаусса. Сделать проверку полученных результатов. Решить задание, используя систему Mathematica, и сравнить полученные результаты.
Таблица 2.1
Исходные данные к заданию
|
Первая цифра
шифра
|
Коэффициенты системы уравнений
|
Вторая
цифра шифра
|
Свободные члены
bi
|
Третья цифра
шифра
|
Величина
с
|
|
ai1
|
ai2
|
ai3
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
0
|
4 + с
1,207
0,248
|
2,353
3,125
0,953
|
0,189
1,424
2,267
|
0
|
2,411
–0,315
2,000
|
0
|
0,954
|
|
1
|
3,742
4,025
1,562
|
6 + c
2,994
0,738
|
1,256
–0,984
4,092
|
1
|
–1,940
1,688
2,198
|
1
|
– 1,025
|
|
2
|
3,116
–2,158
2,352
|
2,125
3,734
1,616
|
3 + c
3,450
3,528
|
2
|
1,480
2,914
–2,165
|
2
|
0,305
|
|
3
|
2,691
2 + c
3,546
|
2,472
3,924
4,017
|
–2,073
1,925
3,638
|
3
|
–1,270
–2,424
1,372
|
3
|
– 0,167
|
|
4
|
3,886
3,004
–2,673
|
3,457
5 + c
2,392
|
1,968
3,785
4,101
|
4
|
1,801
–1,212
–2,624
|
4
|
0,425
|
|
5
|
5,116
2,158
3,195
|
2,125
4,168
–2,207
|
1,140
2 + c
4,218
|
5
|
–2,466
–1,215
1,272
|
5
|
– 0,203
|
|
6
|
4,071
2,848
3 + c
|
–3,797
2,442
4,504
|
3,376
1,955
3,973
|
6
|
2,837
–3,004
3,725
|
6
|
– 0,632
|
|
7
|
5,113
2,957
3,306
|
2,588
4,625
4 + c
|
–2,164
2,949
4,092
|
7
|
1,430
2,175
0,998
|
7
|
0,530
|
|
8
|
2,930
–3,468
2,504
|
–2,152
2,987
3,706
|
2,146
4,225
5 + c
|
8
|
–2,294
1,748
1,025
|
8
|
– 0,758
|
|
9
|
6 + c
4,436
2,407
|
2,890
4,029
–3,913
|
2,476
–2,923
4,738
|
9
|
2,500
–1,692
1,573
|
9
|
0,873
|
Указания к работе.
1. Исходные данные к контрольной работе выбираются студентом из таблицы в соответствии с его личным учебным шифром (номером зачетной книжки). Шифром считаются три последние цифры. Если номер зачетной книжки двузначный, то его следует записать дважды и взять три последние цифры.
2. Пусть из табл. 2.1 выбраны три группы величин:
|
Коэффициенты СЛАУ
|
Свободные члены
|
c
|
|
2,012
|
–1,347
|
0,872
|
1,438
|
|
|
3,457
|
4 + c
|
–2,046
|
–2,562
|
–0,972
|
|
1,827
|
–3,767
|
6,329
|
0,899
|
|
Имея их, надо сформировать СЛАУ
2, 012x1 -1,347x2 + 0,872x3 = 1, 438,
3, 457x1 + 3, 028x2 - 2, 046x3 = -2,562,
1,827x1 - 3, 767x2 + 6,329x3 = 0,899.
Здесь коэффициент a22 = 3,028 получен сложением 4 и с, равного –0,972.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ
Составить систему линейных алгебраических уравнений, выбрав коэффициенты и свободные члены из табл. 3.3 согласно шифру. Решить эту систему методом простой итерации и методом Зейделя с точностью E = 10–4. Сделать проверку полученных результатов. Решить задание, используя систему Mathematica, и сравнить полученные результаты.
Таблица 3.3.
Исходные данные к заданию
|
Первая цифра шифра
|
Коэффициенты системы уравнений
|
Вторая цифра шифра
|
Свободные члены bi
|
Третья цифра шифра
|
Величина с
|
|
ai1
|
ai2
|
ai3
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
0
|
14,34 – c
|
1,588
|
–2,164
|
0
|
0,670
|
0
|
0,513
|
|
|
–4,157
|
12,750
|
2,949
|
|
–4,174
|
|
|
|
|
–3,306
|
4,530
|
9,760
|
|
0,428
|
|
|
|
1
|
11,230
|
1,478
|
3,245
|
1
|
1,767
|
1
|
0,317
|
|
|
4,679
|
15,208 + c
|
1,039
|
|
3,134
|
|
|
|
|
–8,417
|
0,784
|
10,732
|
|
1,987
|
|
|
|
2
|
9,214
|
3,047
|
2,046
|
2
|
4,278
|
2
|
1,783
|
|
|
5,298
|
7,319
|
1,395
|
|
1,409
|
|
|
|
|
4,297
|
1,040
|
7,943
|
|
0,903 + c
|
|
|
|
3
|
23,729
|
10,395 – c
|
1,010
|
3
|
2,170
|
3
|
–3,134
|
|
|
8,860
|
14,395
|
4,045
|
|
4,194
|
|
|
|
|
3,495
|
2,845
|
13,230
|
|
3,294
|
|
|
|
4
|
5,204
|
3,956
|
0,030
|
4
|
4,276
|
4
|
0,451
|
|
|
1,054 +c
|
20,423
|
2,569
|
|
–3,167
|
|
|
|
|
0,371
|
5,320
|
17,456
|
|
1,328
|
|
|
|
5
|
–13,057
|
2,239
|
1,945
|
5
|
13,045
|
5
|
0,574
|
|
|
1,390
|
19,432
|
4,853
|
|
2,056
|
|
|
|
|
5,281
|
4,130 + c
|
19,634
|
|
–1,940
|
|
|
|
6
|
11,945
|
1,035
|
3,275
|
6
|
2,874
|
6
|
0,323
|
|
|
2,478
|
15,374
|
4,230 +c
|
|
4,934
|
|
|
|
|
3,287
|
7,813
|
13,743
|
|
5,397
|
|
|
|
7
|
14,023
|
0,456
|
1,493 +c
|
7
|
6,905
|
7
|
0,124
|
|
|
2,056
|
12,385
|
5,179
|
|
2,504
|
|
|
|
|
1,392
|
4,439
|
13,845
|
|
4,05
|
|
|
|
8
|
9,394
|
1,034
|
0,638
|
8
|
3,905
|
8
|
–0,394
|
|
|
9,010
|
15,345
|
4,945
|
|
5,234
|
|
|
|
|
2,156
|
7,032 – c
|
19,045
|
|
1,043 + c
|
|
|
|
9
|
13,056
|
0,045 – c
|
–0,198
|
9
|
3,560 – c
|
9
|
–1,489
|
|
|
–3,456
|
7,845
|
–0,345
|
|
2,157
|
|
|
|
|
–5,170
|
–6,134
|
15,390
|
|
10,150
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ И СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ЕМУ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Составить матрицу, выбрав коэффициенты из табл. 4.3 согласно шифру. Используя степенной итерационный метод и его модификацию, определить наибольшее по модулю собственное значение l (точность e = 10-3) и соответствующий ему собственный вектор. Провести нормировку собственного вектора двумя способами. Сделать проверку полученных результатов. Решить задание, используя систему Mathematica.
Таблица 4.3
Исходные данные к заданию
|
Первая цифра шифра
|
Коэффициенты системы уравнений
|
Вторая цифра шифра
|
Свободные члены
bi
|
Третья цифра шифра
|
Величина с
|
|
ai1
|
ai2
|
ai3
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
1,034
|
2,874 – d
|
2,504
|
|
|
|
|
|
0
|
15,345 + с
|
0,456
|
11,945
|
0
|
0,124
|
0
|
1,783
|
|
|
2,056
|
5,204
|
13,056
|
|
|
|
|
|
|
4,157
|
0,371
|
0,030
|
|
|
|
|
|
1
|
12,750 – d
|
4,218
|
3,275 + с
|
1
|
0,574
|
1
|
0,030
|
|
|
8,860
|
1,390
|
1,390
|
|
|
|
|
|
|
1,588 + с
|
4,945
|
13,045
|
|
|
|
|
|
2
|
14,395
|
4,276
|
1,035
|
2
|
1,040
|
2
|
–1,940
|
|
|
1,390
|
3,495
|
5,179 + d
|
|
|
|
|
|
|
14,023
|
5,204
|
2,874
|
|
|
|
|
|
3
|
2,478
|
5,281 + d
|
9,010
|
3
|
0,323
|
3
|
–0,394
|
|
|
2,239 + с
|
5,32
|
17,456
|
|
|
|
|
|
|
13,057
|
15,345
|
7,813
|
|
|
|
|
|
4
|
5,204 + d
|
5,397
|
1,430 + с
|
4
|
–0,198
|
4
|
1,588
|
|
|
–3,456
|
3,287
|
4,130
|
|
|
|
|
|
|
0,371 + с
|
4,853
|
2,845
|
|
|
|
|
|
5
|
12,385
|
13,729 – d
|
–0,345
|
5
|
0,638
|
5
|
0,317
|
|
|
2,949
|
4,045
|
1,034
|
|
|
|
|
|
|
4,230
|
3,956 + с
|
1,493
|
|
|
|
|
|
6
|
9,394
|
15,374
|
3,245
|
6
|
0,451
|
6
|
1,054
|
|
|
2,156 – d
|
–6,134
|
–4,157
|
|
|
|
|
|
|
8,860
|
19,432
|
0,456
|
|
|
|
|
|
7
|
11,945
|
7,032 + с
|
7,319 + d
|
7
|
–1,489
|
7
|
1,395
|
|
|
19,045
|
2,056
|
19,634
|
|
|
|
|
|
|
2,056
|
4,439
|
0,045 – d
|
|
|
|
|
|
8
|
2,569 + с
|
7,845
|
13,845
|
8
|
1,010
|
8
|
–3,134
|
|
|
12,750
|
13,230
|
3,275
|
|
|
|
|
|
|
2,046
|
13,056
|
1,392
|
|
|
|
|
|
9
|
5,170
|
4,934
|
1,945 – d
|
9
|
0,513
|
9
|
0,039
|
|
|
4,194 + с
|
20,423
|
4,679
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДАМИ РУНГЕ-КУТТА
Используя трехзначный шифр, выбрать из табл. 5.3 данные к задаче Коши для динамической системы (уравнение 5.8, п. 5.6) с одной степенью свободы. Решить ее методом Рунге-Кутта первого и второго порядка. Результаты представить в виде таблиц и графиков. Решить задание, используя систему Mathematica и сравнить полученные результаты.
Таблица 5.3
Исходные данные к заданию
|
Шифр
|
1 цифра шифра
|
2 цифра шифра
|
3 цифра шифра
|
|
№
|
m
|
b
|
r
|
P(t)
|
.files/image168.gif) y0
|
y0
|
t0
|
tk
|
∆t
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
1
|
3,0
|
0,1
|
2,4
|
sin(t) + 6,4
|
0,1
|
1,0
|
0
|
1
|
0,1
|
|
2
|
3,5
|
0,3
|
2,7
|
sin(2t) – t
|
–0,2
|
–3,0
|
0,1
|
2,1
|
0,2
|
|
3
|
4,0
|
0,5
|
3,0
|
4sin(2t)
|
0,3
|
5,0
|
0,2
|
3,2
|
0,3
|
|
4
|
4,5
|
0,7
|
3,3
|
6cos(3t)
|
–0,4
|
–7,0
|
0,3
|
4,3
|
0,4
|
|
5
|
5,0
|
0,9
|
3,6
|
5(t 2 – cos(t))
|
0,5
|
1,5
|
0,4
|
5,4
|
0,5
|
|
6
|
5,5
|
0,2
|
3,9
|
6t – cos(2t)
|
–0,6
|
–2,6
|
0,5
|
2,0
|
0,15
|
|
7
|
6,0
|
0,4
|
4,2
|
7sin(3t)
|
0,7
|
8,0
|
0,6
|
3,1
|
0,25
|
|
8
|
6,5
|
0,6
|
4,5
|
8cos(2t)
|
–0,8
|
–6,0
|
0,7
|
4,2
|
0,35
|
|
9
|
7,0
|
0,8
|
4,8
|
0,5t 2 + 7,3
|
0,9
|
4,0
|
0,8
|
4,8
|
0,4
|
|
0
|
7,5
|
1,0
|
5,1
|
–0,2t + 6,5
|
–1,0
|
2,0
|
0,9
|
5,4
|
0,45
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Задана краевая задача, состоящая из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y" + ky = f(x) и двух краевых условий y(0) = y(l) = 0. Значения k = k*(π/l)2, l и выражение f(x) принимаются по табл. 6.3. Используя метод конечных разностей при m = 4, составить таблицу с результатами и построить график функции y = y(x). При решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод прогонки. Решить задание, используя систему Mathematica и сравнить полученные результаты.
Таблица 6.3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Решить графически задачу линейного программирования с двумя неизвестными. Исходные данные выбрать по табл. 7.1 в соответствии с шифром. Проверить полученные результаты, используя систему Mathematica.
Указания к работе. Функция цели в задаче может достигать как максимума, так и минимума. Таким образом, надо решать по существу две ЗЛП. Условия неотрицательности на переменные x1 и x2 не накладываются.
Таблица 7.1
Исходные данные к заданию
|
Первая цифра шифра
|
Коэффициенты
функции цели
|
Вторая цифра шифра
|
Ограничения
|
Третья цифра шифра
|
d
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
0
|
с1 = d
c2 = 8
|
0
|
3x1 + 5x2 ≥ 2(2 + d)
2x1 – x2 ≥ 2
x1 – x2 ≤ 3
|
0
|
2,0
|
|
1
|
с1 = –2
c2 = 2d
|
1
|
–2x1 + 1,5x2 ≥ 6
x1 ≤ –1
x1 + x2 ≥ 2(2 – d)
3x1 + 2x2 ≤ 12
|
1
|
2,5
|
|
2
|
с1 = 1,5d
c2 = –3
|
2
|
4x1 + 3x2 ≤ –12
2dx2 ≤ 6
x1 ≥ –7
–2x1 + x2 ≤ 4
|
2
|
3,0
|
|
3
|
с1 = –4
c2 = –2,5d
|
3
|
x1 – 4x2 ≥ 0
–3x1 + 2x2 ≤ 12
x1 ≤ d – 2
|
3
|
3,5
|
|
4
|
с1 = 2d c2 = 5
|
4
|
x1 ≥ –1
2x1 – 3x2 ≥ 6
x1 + x2 ≥ –5
4x1 + x2 ≤ 20 – d
|
4
|
4,0
|
|
5
|
с1 = –6
c2 = 2d
|
5
|
–x1 – 2x2 ≤ 8
x1 – 2x2 ≥ –6
dx2 ≤ 10
7x1 – 4x2 ≤ 28
|
5
|
3,5
|
|
6
|
с1 = d
c2 = –7
|
6
|
–dx1 + x2 ≤ 0
x1 – 4x2 ≥ 0
x1 – 2x2 ≤ 8
|
6
|
3,0
|
|
7
|
с1 = –8
c2 = –3d
|
7
|
2x1 + x2 ≥ 6
x1 – x2 ≤ 2
x1 ≥ 3 – d
|
7
|
2,5
|
|
8
|
c1 = 6
c2 = –d
|
8
|
2x1 – 3x2 ≤ 6
x1 + x2 ≥ 3
–x1 + x2 ≤ 2
x2 ≤ d + 3
|
8
|
2,0
|
|
9
|
c1 = –5
c2 = 2d
|
9
|
–x1 + 2x2 ≤ 10
x1 + x2 ≥ d
2x1 – x2 ≤ 4
|
9
|
4,0
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
СИМПЛЕКС-МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Используя исходные данные к лабораторной работе № 7, решить свой вариант задания, применяя симплекс-метод.
Указания к работе.
Функция цели в задаче исследуется на максимум. Условия неотрицательности на переменные x1 и x2 не накладываются. |
