Сформулируйте  и решите задачу линейного программирования с помощью MS Excel. Составьте и найдите решение двойственной задачи. Найдите интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений. Ответьте на вопросы, не прибегая к перерешиванию задачи.

Вариант 1

Механический завод при изготовлении трех разных деталей I, II, III использует токарные, фрезерные и строгальные станки. При этом обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими способами: Т₁, Т₂, и Т₃. В таблице указаны нормы времени при обработке детали на соответствую­щем станке каждым технологическим способом, а также ресурсы (время) каждой группы станков. Прибыль от продажи каждого вида изделия составляет соответственно 22, 18 и 30 руб.

Требуется сформулировать  и решить задачу линейного программирования, позволяющую составить оптимальный план загрузки производственных мощностей, обеспечивающий максимальную прибыль. (требованием целочисленности пренебречь)

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, ресурс времени работы какого станка является дефицитным. Какой из них самый дефицитный?  Изменится ли оптимальный план, если увеличится прибыль от продажи каждого вида изделия на 10 руб. (отдельно по каждому виду)? Какое изменение прибыли от продажи каждого вида изделия приведет к изменению  оптимального плана загрузки производственных мощностей? Насколько изменится прибыль, если включить в план производства деталь типа I по всем технологическим способам?

Вариант 2

Из Москвы в Санкт-Петербург ежедневно отправляют­ся пассажирские и скорые поезда. В таблице указано количество вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать поезда, и число пассажиров, на которое рассчитаны вагоны.

Требуется сформулировать  и решить задачу линейного программирования, позволяющую определить оптимальное количество пассажирских и скорых поездов, отправляемых ежедневно, обеспечивающих максимальное коли­чество перевозимых пассажиров. (условием целочисленности пренебречь)

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие типы вагонов являются дефицитными. Какой из них самый дефицитный? Насколько необходимо увеличить его количество в парке, что бы он перестал быть дефицитным? Насколько увеличится пассажиропоток, если закупить еще один багажный вагон? Сколько и каких вагонов можно вывести из парка при неизменном статусе их дефицитности? Как изменится оптимальное количество поездов, если они будут комплектоваться двухэтажными купейными вагонами, пассажировместимость которых 80 человек?

Вариант 3

Завод по производству электронного оборудования выпускает четыре модели продукции: "Юпитер", "Венера", "Марс", "Сатурн".

В производственный процесс вовлечены три цеха завода — цех узловой сборки, сборочный и испытательный. Распределение времени, требуемого для обработки каждой модели в каждом цехе, а также максимальные производственные мощности цехов приведены в таблице. Отдел исследований рынка производит периодическую оценку потребительского спроса на каждую модель. Максимальные прогнозные значения спроса и доходы   от  реализации   единицы   продукции  каждой  модели  также содержатся в таблице.

Построить задачу линейного программирования и найти оптимальное решение  для изложенной проблемы производства изделий в ассортименте, если цель состоит в максимизации общего ежемесячного дохода. (условием целочисленности пренебречь)

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов являются дефицитными. Какой ресурс самый дефицитный? Насколько необходимо увеличить его запасы, что бы он перестал быть дефицитным? Как изменится ежемесячный доход, если увеличить производительную мощность цеха узловой сборки на 50 часов? Как повлияет на ежемесячный доход увеличение спроса на модель «Марс» на 10 шт? Изменится ли оптимальный план, если увеличить цены на 5 ф.ст. (отдельно по каждой модели)? Что произойдет, если включить в план производства 3 шт модели «Юпитер»?

Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе:

Вариант 4

Нефтеперерабатывающий завод получает че­тыре полуфабриката: 400 тыс. литров алкилата, 250 тыс. литров крекинг-бензина, 350 тыс. литров бензина прямой перегонки и 100 тыс. литров изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в раз­ных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина: сорт А - 2:3:5:2, сорт В - 3:1:2:1 и сорт С - 2:2:1:3.

Требуется сформулировать  и решить задачу линейного программирования, позволяющую определить оптимальный план смешения компо­нентов, если стоимость 1 тыс. литров указанных сортов бензина соот­ветственно 120, 100 и 150 руб.

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов являются дефицитными. Какой ресурс самый дефицитный? Насколько необходимо увеличить его запасы, что бы он перестал быть дефицитным? Как изменится выручка, если увеличить его запас на 20 тыс. литров? Изменится ли оптимальный план, если увеличить цены на бензин сорта В и С на 50 рублей/тыс. лит. (отдельно по каждому сорту)? Насколько изменится выручка, если включить в план производства 1 тыс. литров бензина марки С?

Вариант 5

Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей: X и Y.  Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел/часов в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел/час, а для производства одной детали типа Y 2 чел/часа. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Требуется сформулировать  и решить задачу линейного программирования, позволяющую определить, сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ф. ст., а от производства одной детали типа Y - 40 ф. ст.? (условием целочисленности пренебречь)

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов являются дефицитными. Какой ресурс самый дефицитный? Насколько необходимо увеличить его запасы, что бы он перестал быть дефицитным? Как изменится недельная прибыль, если нанять дополнительных рабочих, и повысить тем самым фонд рабочего времени на 250 чел/часов в неделю? Как повлияет на недельную прибыль увеличение требований профсоюза до 2000 деталей в неделю? Изменится ли оптимальный план, если увеличить цены на 5 ф.ст. (отдельно по каждому типу деталей)? При каких изменениях цен продаж оптимальный план будет иным?

Вариант 6

«Princetown Paints Ltd» выпускает три основных типа румян – жидкие, перламутровые и матовые – с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному экономисту фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведена в таблице (фунтов стерлингов).

Стоимость 1 чел/часа составляет 3 ф. ст. а стоимость 1 ч приготовления смеси — 4 ф. ст. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел/ч. в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч в неделю.

В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен 35000 л в неделю, а на перламутровые румяна — 29000 л в неделю.

Требуется сформулировать  и решить задачу линейного программирования, позволяющую определить объемы производства жидких и перламутровых румян в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли. Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов являются дефицитными. Как повлияет на недельную прибыль изменение в контрактном соглашении по матовым румянам на 1000 л в сторону увеличения и в сторону уменьшения? Изменится ли оптимальный план, если увеличить цену продажи всех видов румян на 5 ф.ст. (отдельно по каждому виду румян)? При каких изменениях цен продаж оптимальный план будет иным?

Вариант 7

Предприятие промышленного железнодорожно­го транспорта обслуживает двух клиентов - осуществляет подачу-уборку вагонов на подъездные пути клиентов. На текущий месяц установлены расходы на оплату труда в размере 180 тыс. руб. и на материальные затраты - 144 тыс. руб. В таблице приведены пред­полагаемые затраты на подачу-уборку одного вагона каждому кли­енту. От первого предприятия поступила заявка на подачу не менее 6000 вагонов, а от второго – не менее 1000 вагонов.

Требуется сформулировать  и решить задачу линейного программирования, позволяющую определить объемы транспортной работы по обслу­живаемым предприятиям так, чтобы суммарный доход предприятия транспорта был максимальным, если известно, что первое обслуживаемое предприятие оплачивает подачу одного вагона в размере 25 руб., а второе - в размере 78 руб.

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найдите интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов (ограничений)  являются дефицитными (сдерживающими рост прибыли). Как повлияет на прибыль увеличение требований 2 клиента до 1200 вагонов?  Изменится ли оптимальный план обслуживания клиентов, если увеличится оплата подачи одного вагона на 100% (отдельно по каждому клиенту)? При каких изменениях цен оптимальный план будет иным?

Вариант 8

На мебельной фабрике изготовляется пять видов про­дукции: столы, шкафы, диваны-кровати, кресла-кровати и тахты. Нормы затрат труда, а также древесины и ткани на производ­ство единицы продукции данного вида приведены в таблице.

В этой же таблице указана прибыль от реализации одного изделия каждого вида, приведено общее количество ресурсов данного вида, имеющееся в распоряжении фабрики, а также ука­зано (на основе изучения спроса), в пределах каких объемов может изготавливаться каждый вид продукции.

Определить план производства продукции мебельной фабри­кой, согласно которому прибыль от ее реализации является мак­симальной. (условием целочисленности пренебречь)

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов являются дефицитными (сдерживающими рост прибыли). Как повлияет на прибыль увеличение запасов древесины на 100 м³? Как повлияет на прибыль найм на пол ставки (80 часов) дополнительного рабочего?  Принудительное увеличении выпуска каких предметов мебели приведет к снижению прибыли? При каких изменениях показателей прибыли оптимальный план производства мебели будет иным?

Вариант 9

На молочном комбинате для производства двух видов сливочного мороженого и двух видов пломбира требуется мо­локо натуральное, молоко сухое, молоко сухое обезжиренное, масло сливочное, сахар, молоко сгущенное, молоко сгущенное обезжиренное, а также используется соответствующее обору­дование для расфасовки и упаковки мороженого. Нормы затрат указанных ресурсов на производство 1 т мороженого приведены в таблице.

В этой же таблице указана прибыль от реализации 1 т моро­женого каждого вида, приведено общее количество ресурсов дан­ного вида, имеющееся в распоряжении молочного комбината, а также указаны минимально возможный выпуск сливочного мо­роженого II вида и максимально возможный — пломбира I вида (эти границы определены на основе установившегося спроса на мороженое).

Определить план производства мороженого молочным комби­натом, обеспечивающий максимальную прибыль от его реализа­ции. Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из ресурсов являются дефицитными (сдерживающими рост прибыли). Какой ресурс самый дефицитный? Насколько необходимо увеличить его запасы, что бы он перестал быть дефицитным? Как повлияет на прибыль увеличение запасов молока сухого обезжиренного на 300 кг? масла сливочного на 1 т?  При каких изменениях показателей прибыли оптимальный план производства мороженого будет иным?

Вариант 10

Для поддержания нормальной жизнедеятельности че­ловеку ежедневно необходимо потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Коли­чество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого ви­да потребляемых продуктов, а также цена 1 кг каждого из этих продуктов приведены в таблице.

Составить дневной рацион (набор продуктов), содержащий не менее минимальной суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов.

Составьте и найдите решение двойственной задачи, найти интервалы устойчивости для коэффициентов целевой функции и свободных членов системы ограничений.

Определите, какие из питательных веществ получаются в минимально возможном количестве? Как повлияет на общую стоимость набора продуктов увеличение нормы по белкам в два раза? На какую сумму должны уменьшиться цены на продукты, что бы в оптимальный дневной рацион вошли мясо, рыба, молоко, сыр, картофель? К какому увеличению общей стоимости набора продуктов приведет принудительное включение 1кг картофеля?