ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынима­ют без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».

2. Пятитомное собрание сочинений расположено на пол­ке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

3. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгры­ваются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б) четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?

4. В старинной игре в кости необходимо было для выиг­рыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.

5. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 — высо­кой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 — высокой квалификации. В командировку надо отпра­вить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в ко­мандировку?

6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех спра­вочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответ­ственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее, чем в двух справочниках.

7. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероят­ность попадания при первом выстреле равна 0,75; при втором — 0,8; при третьем — 0,9. Определить вероят­ность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы од­но попадание.

8. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов по край­ней мере двое нуждаются в общей чистке механизма?

9. Среди 15 лампочек 4 стандартные. Одновременно бе­рут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.

10. В коробке смешаны электролампы одинакового разме­ра и формы: по 100 Вт — 7 штук, по 75 Вт — 13 штук. Вынуты  наудачу  3 лампы.   Какова  вероятность того, что: а) они одинаковой мощности; б) хотя бы две из них по 100 Вт?

11. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с веро­ятностью, не меньшей Р, можно было утверждать, что по крайней мере один раз произойдет событие, веро­ятность которого в каждом испытании равна р! Дать ответ при р = 0,4 и Р = 0,8704.

12. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Ка­кова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?

13. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй — 85%, третьей — 75%. Найти вероятность того, что: а) приоб­ретенное изделие окажется нестандартным; б) приоб­ретенное изделие оказалось стандартным. Какова веро­ятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

14. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго — 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она при­надлежит первому стрелку.

15. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй — остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй — 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.

16. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на четвертом этаже; б) на одном и том же этаже; в) на разных этажах.

17. Батарея, состоящая из 3 орудий, ведет огонь по группе, состоящей из 5 самолетов. Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти ве­роятность того, что все орудия будут стрелять: а) по одной и той же цели; б) по разным целям.

18. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 под­готовлено отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 во­просов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, по­средственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) от­лично; б) плохо.

19. Имеется 50 экзаменационных билетов, каждый из кото­рых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100 вопросов, а только на 60. Определить веро­ятность того, что экзамен будет сдан, если для этого дос­таточно ответить на оба вопроса из своего билета, или на один вопрос из своего билета, или на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

20. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безус­ловно необходима для работы прибора в целом. Надеж­ность (вероятность безотказной работы в течение време­ни t) первого узла равна 0,8, второго — 0,9. Прибор ис-пытывался в течение времени t, в результате чего обна­ружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероят­ность того, что отказал только первый узел, а второй ис­правен.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №2

ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

1. В среднем пятая часть поступающих в продажу авто­мобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех.

2. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объ­екта, если для этого необходимо не менее четырех по­паданий.

3. В среднем по 15% договоров страховая компания вы­плачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

4. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?

5. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: а) не менее трех мальчиков; б) не более трех мальчиков.

6. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6; б) не менее 2 партий из 6 или не менее 3 партий из 6? (Ничьи в расчет не принимаются.)

7. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Ве­роятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обна­ружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов.

8. Строительная фирма, занимающаяся установкой лет­них коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух ты­сяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов будет: а) равно 48; б) находиться в границах от 45 до 55.

9. В вузе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определенный день года, равна 1/365. Найти: а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и вероятность та­кого события; б) вероятность того, что по крайней ме­ре 3 студента имеют один и тот же день рождения.

10. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероят­ность того, что экземпляр учебника сброшюрован не­правильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.

11. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзи­ну. Вероятности попадания мяча в корзину при каж­дом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти ве­роятность того, что: а) у обоих будет одинаковое коли­чество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

12. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляе­мых заводом телефонных аппаратов является продук­цией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов; б) 120 аппара­тов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?

13. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из 200 перфокарт правильно набитых будет не меньше 180; б) у того же оператора из десяти перфокарт будет неверно набитых не более двух.

14. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти веро­ятность того, что из 400 студентов работу успешно вы­полнят: а) 180 студентов, б) не менее 180 студентов.

15. При обследовании уставных фондов банков установле­но, что пятая часть банков имеют уставный фонд свы­ше 100 млн руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.

16. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?

17. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправле­нию поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

18. Вероятность того, что деталь стандартна, равна р = 0,9. Найти: а) с вероятностью 0,9545 границы (симметрич­ные относительно /?), в которых заключена доля стан­дартных среди проверенных 900 деталей; б) вероят­ность того, что доля нестандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,08 до 0,11.

19. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероят­ностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семе­ни не более, чем на 0,03 (по абсолютной величине)?

20. У страховой компании имеются 10 000 клиентов. Каж­дый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, со­ставляет 50 000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №3

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попа­дания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа оч­ков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

2. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каж­дую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины — размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не воз­вращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кре­дитов из 5 выданных. Найти математическое ожида­ние, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

4. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каж­дый вопрос приведено 4 ответа, один из которых пра­вильный. Составить закон распределения числа пра­вильных ответов при простом угадывании. Найти ма­тематическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

5. В среднем по 10% договоров страховая компания вы­плачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четы­рех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6. В билете три задачи. Вероятность правильного реше­ния первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей —-0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на ОД. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математиче­ское ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

8. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попа­дания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым — 0,7, Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график. (Каждый стрелок делает по од­ному выстрелу.)

9. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если ве­роятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

10. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распреде­ления и найти функцию распределения случайной ве­личины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

11. Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Составить за­кон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

12. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополни­тельной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа.

13. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины — числа импортных из четырех наудачу вы­бранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

14. Вероятность того, что в библиотеке необходимая сту­денту книга свободна, равна 0,3. Составить закон рас­пределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

15. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правиль­но отвечает. Как только число правильных ответов дос­тигнет четырех либо студент ответит неправильно, экза­менатор прекращает задавать вопросы. Вероятность пра­вильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить за­кон распределения числа заданных студенту вопросов.

16. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенци­альных покупателей и звонит им до тех пор, пока не по­лучит заказ на покупку товара. Вероятность того, что по­тенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Соста­вить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математиче­ское ожидание и дисперсию этой случайной величины.

17. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экза­мена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго — 0,8, третьего — 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предьщущего. Составить закон распределения числа эк­заменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

18. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патро­нов. Вероятность попадания при первом выстреле рав­на 0,6, при каждом последующем — уменьшается на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случай­ной величины.

19. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ре­монта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чист­ке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математи­ческое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

20. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в после­дующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое откло­нение этой случайной величины.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №4

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Вероятность выигрьппа по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распре­деления числа выигравших облигаций среди приобре­тенных 19. Найти математическое ожидание, диспер­сию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.

2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих неза­висимо один от другого. Вероятность отказа любого эле­мента в течение времени / равна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время t элементов; б) найти математическое ожидание и диспер­сию этой случайной величины; в) определить вероят­ность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.

3. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения числа сделанных выстре­лов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.

4. В магазине имеются 20 телевизоров, из них 7 имеют де­фекты. Необходимо: а) составить закон распределения числа телевизоров с дефектами среди выбранных наудачу пяти; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность то­го, что среди выбранных нет телевизоров с дефектами.

5. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выра­жение его плотности вероятности и функции распре­деления; б) вероятность того, что в течение 100 ч при­бор не выйдет из строя.

6. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что масса ко­робок с конфетами имеет нормальное распределение, а 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков про­цент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550 г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?

7. Случайная величина X имеет нормальное распределе­ние с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Хв интервал (10; 15) равна 0,09. Чему равна вероятность   попадания   X  в   интервал:   а)   (35;40); б) (30;35)?

20%-ная точка нормально распределенной случайной величины равна 50, а 40%-ная точка равна 35. Найти вероятность того, что случайная величина примет зна­чение в интервале (25;45).

8. Месячный доход семей можно рассматривать как случай­ную величину, распределенную по логнормальному зако­ну. Полагая, что математическое ожидание этой случай­ной величины равно 1000 ден. ед., а среднее квадратиче­ское отклонение 800 ден. ед., найти долю семей, имеющих доход: а) не менее 1000 ден. ед.; б) менее 500 ден. ед.

9. Известно, что нормально распределенная случайная величина принимает значение: а) меньшее 248 с веро­ятностью 0,975; б) большее 279 с вероятностью 0,005. Найти функцию распределения случайной величины X.

10. Случайная величина X распределена по нормальному за­кону с нулевым математическим ожиданием. Вероят­ность попадания этой случайной величины на отрезок от —1 до +1 равна 0,5. Найти выражения плотности вероят­ности и функции распределения случайной величины X.

11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 0. При каком значении среднего квадратического отклонения а ве­роятность попадания случайной величины X в интер­вал (1;2) достигает максимума?

12. Время ремонта телевизора распределено по показатель­ному закону с математическим ожиданием, равным 0,5 ч. Некто сдает в ремонт два телевизора, которые одновре­менно начинают ремонтировать, и ждет, когда будет от­ремонтирован один из них. После этого с готовым теле­визором он уходит. Найти закон распределения времени: а) потраченного клиентом; б) которое должен потратить клиент, если он хочет забрать сразу два телевизора.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №5

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Рассматривается двумерная случайная величина (X,Y), где X — поставка сырья, Y — поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступле­ние требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить: а)        выражение совместной плотности и функции рас­пределения   двумерной   случайной   величины   (X,Y); б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y; в) зависимы или не­зависимы Х и Y; г) вероятности того, что поставка сы­рья произойдет до и после поступления требования.

2. Двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале ко­ординат. Стороны квадрата равны Ö2 и составляют угг лы 45° с осями координат. Определить: а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины (X Y); б) плотности вероятности одномерных состав­ляющих X и Y; в) их условные плотности; г) зависимы или независимы Х и Y

3. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N(0;1).

4. Двумерная случайная величина определяется следую­щим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то X= 1, в про­тивном случае X = 0; Y= 1, когда число очков кратно трем, в противном случае У= 0. Найти: а) законы рас­пределения двумерной случайной величины (X, Y) и ее одномерных составляющих; б) условные законы рас­пределения X и Y.

5. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где О(0;0), А(0;1), В1;1), С(1;0). Найти выраже­ние совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y).

6. Поверхность распределения двумерной случайной ве­личины (X, Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности ф(х, у), плотностей вероятностей одномерных составляющих ф₁(х)  ф₂(у), условных плотностей ф_x(у), ф_y(х) . Выяс­нить, являются ли случайные величины X и Y: зависи­мыми; коррелированными.

7. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y = 2 — 3Х. Числовые характеристики случайной величины X заданы а_х = -1; D(X) = 4.  Найти: а) математическое ожидание и дисперсию  случайной величины Y; б) ковариацию и коэффициент  корреляции случайной величин Х и Y.

8. Случайная величина X задана плотностью вероятности ф(x) = cosx в интервале (0, p/2); вне этого интервала ф(х) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y= X².

9. Случайная величина X распределена с постоянной  плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= 1/X.

10. Непрерывная случайная величина распределена по  показательному закону с параметром l= 2. Найти  математическое ожидание и дисперсию случайной  величины Y= e^-X.

11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 0, σ²=5. Найти  математическое ожидание случайной величины Y= 1 – 3X² + 4X³.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №6

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

1. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электро­ламп, вероятность включения каждой из которых вече­ром равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величи­не). Найти вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра—Лапласа.

2. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

3. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия — 0,1. Используя неравенство Чебышева, оценить веро­ятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 и не более 50,5 см.

4. Уточнить веро­ятность того же события, если известно, что длина случайно взятой детали имеет нормальный закон распределения.

5. В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от. других. Оценить с помощью нера­венства Чебышева вероятность того, что доля надеж­ных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

6. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебы­шева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в гра­ницах от 0,66 до 0,74.

7. Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые авто­мобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помо­щью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля за­правившихся в течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.

8. В среднем 10% работоспособного населения некоторо­го региона — безработные. Оценить с помощью нера­венства Чебышева вероятность того, что уровень без­работицы среди обследованных 10 000 работоспособ­ных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).

9. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математи­ческого ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра—Лапласа.

10. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пя­тый договор. Оценить с помощью неравенства Чебы­шева необходимое количество договоров, которые сле­дует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа.

11. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.

12. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с веро­ятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №7

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. Случайный процесс определяется формулой X(t)=Хе^-t (>0), где X – случайная величина, распределенная по  нормальному закону с параметрами а и σ². Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса.

2. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже  газированной воды, каждый из которых в случайный момент

времени может быть либо занятым, либо свободным.

3. Построить граф состояний системы S, представляющей собой электрическую лампочку, которая в случайный момент времени может быть либо включена, либо  выключена, либо выведена из строя.

4. Среднее число заказов на такси, поступающих на  диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а) 4 вызова; б) хотя бы один; в) ни одного вызова. (Поток заявок простейший.)

5. Рассматривается круглосуточная работа пункта  проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины  затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживании — простейшие. Если машина, прибывшая в пункт  осмотра, не застает ни одного канала свободным, она  покидает пункт осмотра необслуженной. Определить  предельные вероятности состояний и характеристики  обслуживания профилактического пункта осмотра.

6. Решить задачу 5 для случая n=4 канала (групп проведения осмотра). Найти минимальное число  каналов, при котором относительная пропускная  способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

7. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,4 вызовов/мин. Средняя продолжительность разговора 3 мин.; время разговора имеет показательное  распределение. Найти предельные вероятности состояний и  характеристики обслуживания СМО. Сравнить  пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если разговор длился в точности 3 мин., а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов.

8. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 4 ден. ед. Содержание каждого канала обходится 2 ден. ед./ч. Выяснить, выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов до трех.