1.   В группе первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятность следующих событий: а) все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; б) две команды экстракласса попадут одну из групп, а три - в другую;

2.   В двух ящиках находятся носки, отличающиеся только цветом, причем в первом ящике белых носков, 11 черных и 8 красных, а во втором соответственно 10, 8 и 6. Из каждого ящика наудачу извлекается по одному носку. Какова вероятность того, что оба носка окажутся одного цвета?

3.   Пусть в коробке есть 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из этой коробки наудачу вынуть два новых мяча?

4.   Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.

5.   Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) не менее 710 раз и не более 740 раз; б) ровно 700 раз.

6.   Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной ставкой под залог недвижимости.

Процентная ставка на ценные бумаги X - случайная величина с МХ=а, a>r, DX=O. Какова вероятность того, что инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости?

Указание. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<г).

7.   Что вы понимаете под терминами "выборочное распределение выборочной средней" и "выборочное распределение выборочной дисперсии"? Рассчитайте стандартную ошибку средней по отношению к доходу по финансовому индексу со средним значением в 10% и средним квадратическим отклонением 16% на основе 60 наблюдений.

8.   В клинике Св. Иосифа рассматривается вопрос приобретения нового сканера для замены в научно-исследовательском отделе имеющегося, требующего серьезного усовершенствования. Имеется три варианта: а) купить новый сканер стоимостью 1 млн. долл. США; б) модифицировать имеющийся, затратив 0.6 млн. долл. США; в) оставить все как есть. В случае приобретения нового сканера отдача от него оценивается в 2 млн. долл. США. Однако существует 20%-ная вероятность того, что новый сканер все же потребует доработки и это обойдется еще в 0.2. млн. долл. США, прежде чем он заработает на полную мощность. Аналогично, если модифицировать имеющийся сканер, существует все же вероятность в 10%, что потребуется проводить дополнительные работы, стоимостью 0,1 млн. долл. США. Оценочный доход от модифицированного сканера составляет 1,5 млн. дол. США, но при этом он все же будет уступать в производительности новому. Если оставить все как есть, то оценочный доход составляет только 0,6 млн. долл. США. Что вы порекомендуете клинике в данной ситуации?

  9. Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70 % ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2 тыс. чел., и 1422  из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70 % всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Принять уровень значимости а = 0,05.

  10. Определите тесноту связи между возрастом самолета (Х, лет) и стоимостью его эксплуатации (Y, млн. руб.) по следующим данным:

  Установите значимость коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолета, если его возраст 1,5 года, а уровень значимости принять равным 0,05?