1.   Трехзначное число образовано случайным выбором трех неповторяющихся цифр из числа цифр 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что это число четное? Нечетное? Что оно делится на 5?

2.   Результаты экзаменов в ТГУ показывают, что 10% учащихся не смогли сдать ТВ и МС, 12% математический анализ, и 20% провалили экзамены как по ТВ и МС, так и по математическому анализу. Наугад выбирается один студент. Будут ли события «Этот студент не сдал ТВ и МС» и «Этот студент не сдал математический анализ» независимыми.

3.   Служащий, работающий в Тюмени, может возвращаться домой: I) либо через мост по улице «Челюскинцев», II) либо мостом по улице «Профсоюзной». Он ездит по-разному, в 1/3 всех случаев выбирая мост по улице «Челюскинцев», а в 2/3 случаев мост по улице «Профсоюзной». Если он едет путем I, то в 75% случаев он возвращается домой к 6 часам вечера, если же он добирается путем II, то только в 70% случаев он возвращается к 6 часам вечера, однако последняя дорога ему больше нравится. Если он возвращается домой после 6 часов вечера, то какова вероятность того, что он добирался путем II.

4.   Три кандидата участвуют в выборах на три различные должности в разных городах. Шансы оказаться избранными для каждого из них равны 1:3. Какова вероятность того, что будет избран по крайней мере один из них?

5.   Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

6.   Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов некоррелированных бумаг, эффективности Ej и риски  σ_i; которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления  портфеля из этих бумаг равными долями. Дайте графическое изображение всех этих портфелей точками (по осям координат — эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные по Парето?  

7. Выборка из 25 еженедельных наблюдений за доходами по индексу FTSE 100 характеризуется средней 0,005 и средним квадратическим отклонением 0,02. Предположив, что недельные доходы нормально распределены, найдите 95%-ный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения недельных доходов.

8.  Станки, используемые в основной производственной зоне компании «Уокер энд Шмидт», производят оценочно готовой продукции на 300 000 долл. США в день каждый. Отсюда видно, что остановка одного из станков на продолжительное время может нанести компании серьёзный ущерб. Вероятность того, что какой-то станок встанет в любой день, оценивается равной 0,03. У компании в наличии пять таких станков.

1) С помощью биноминального распределения определите вероятность того, что в любой данный день:

а) не сломается ни один из станков;

б) только один станок сломается;

в) по меньшей мере два станка выйдет из строя.

2) В среднем в компании два небольших несчастных случая на производстве в месяц. С помощью распределения Пуассона оцените вероятность того, что в любой данный месяц число небольших несчастных случаев составит:

а) менее двух;

б) более трёх.

9.    В 1996 г. годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 12 · 104 у. е.; в регионе В годовой оборот 5 бирж – 125 · 103 у. е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной

3 · 104(у. е.) 2, а в регионе В - 2 · 104     (у. е.) 2. Можно ли на уровне значимости а = 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

10.   Семь вновь принятых сотрудников брокерской компании проходят аттестацию в конце испытательного периода. Результаты их работы оцениваются путем сдачи теста на профессиональную пригодность и по отдаче с каждого инвестированного ими рубля. Результаты молодых специалистов были ранжированы следующим образом:

  Вычислите коэффициент корреляции рангов Спирмена, оцените его значимость.