1. В ящике 4 голубых и 5 красных носков. Из ящика наугад вынимают 2 носка. Найдите вероятность того, что эти носки разного цвета.

2.   Предположим, что вероятность для мужчины дожить до 30 лет равна 4/5, а вероятность его жены дожить до 30 лет равна 5/6. Найдите вероятность того, что до 30 лет доживут: а) оба; б) только мужчина; в) только женщина; г) ни мужчина ни женщина; д) хотя бы один из них.

3.   В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашаются наугад три студента. Найти вероятность того, что они получат оценки: отлично, хорошо, удовлетворительно (в любом порядке).

4.   Обреченным на смерть пациентам в качестве последнего шанса можно предложить опасную операцию, в результате которой выживают 80% всех оперированных. Какова вероятность того, что ровно 80% из пяти оперированных пациентов выживут.

5.   Проводятся последовательные испытания по схеме Бернулли. Вероятность осуществления события А в одном испытании равна 0,6. Вычислить вероятность следующих событий: а) Событие а произойдет в большинстве из 60 испытаний; б) Число успешных осуществлений события А в 60 испытаниях заключено между 30 и 42; в) Событие А осуществляется 36 раз в 60 испытаниях.

6.   Сформируйте оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности единице, и некоррелированных рисковых ожидаемых эффективностей 3 и 5 с рисками 2 и 4 соответственно. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции «short sale» и с какими ценными бумагами?

7.   Компания ABC Fund Managers Pie заявила, что месячный доход по ее высокодоходному инвестиционному фонду превысил доход индекса на 0,3%, или на 0,003. В течение одногодичного периода средний доход по индексу составил 0,005, а средний доход фонда — 0,0065, среднее квадратическое отклонение равно 0,019. Выполните одностороннюю статистическую проверку, чтобы выяснить, насколько верно заявление компании.

8.   Промышленная группа «Уокер энд Шмидт» наняла менеджера по управлению риском, с тем чтобы тот оценил риски, связанные с рядом действий, и разработал защитные варианты на случай возникновения серьёзных осложнений. Для выполнения поставленной задачи менеджер должен рассмотреть ряд потенциально неблагоприятных исходов, которые могут повлиять на деятельность компании, особенно в том, что касается вопросов производства и транспортировки. В связи с этим менеджер оценивает вероятность наступления некоторых событий с целью выработки приоритетов в отношении требуемых защитных мер.

1)   Менеджер установил, что вероятность серьёзного пожара который приводит к остановке производства, в любой данный месяц составляет около 2%. Это считается неприемлемым, что подтверждается рассмотрением следующих вероятностей. Определите вероятность, что пожаров не будет:

а) в течение 3-х месяцев;

б) в течение 6-ти месяцев;

в) в течение 2-х лет. Каковы выводы для компании по данной ситуации?

2)   Вероятность взлома или кражи товаров в любую данную неделю составляет 1%. Какова вероятность того, что:

а) в течение четырёх недель взломов не будет;

б) в течение четырёх недель будет зафиксирован по меньше мере один взлом.

9.   Компания, занимающаяся консультированием в области инвестиций, заявляет, что среднегодовой процент по акциям определенной отрасли промышленности составляет 11,5 %. Инвестор, желая проверить истинность этого утверждения, на основе случайной выборки 50 акций выявил, что среднегодовой процент по ним составил 10,8% с исправленным средним квадратическим отклонением s = 3,4 %. На основе имеющейся информации определите, имеет ли инвестор достаточно оснований, чтобы опровергнуть заявление компании? Принять уровень значимости а = 0,05.

10.   Следующие данные получены из случайной выборки по оборотам 8 годовых консолидированных балансов. Цифры в таблице показывают объем продаж, тыс. шт., и цену единицы товара, руб.

  Рассчитайте выборочные коэффициент корреляции Пирсона между объемом продаж и ценой товара. Проверьте значимость коэффициента корреляции для а = 0,05.