1. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

2.   Для магазина потребительской кооперации куплены 2 холодильника. Вероятность того, что каждый из них выдержит гарантийный срок службы, составляет 90%. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока: а оба холодильника не потребуют ремонта; б) только один из них потребует ремонта; в) хотя бы один не потребует ремонта?

3.   В ящике 3 белых и 7 чёрных носков. Один носок вынут и отложен в сторону. Какова вероятность того, что следующий вынутый носок будет белым, если цвет первого неизвестен?

4.   В среднем за 5 дней рабочей недели на автоматической линии происходит 3,4 неполадок. Какова вероятность двух неполадок в каждый день работы?

5.   Предполагая, что вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6, найти вероятности следующих событий: 1) при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз; 2) при 200 выстрелах цель будет поражена не менее 120, но не более 130; 3) при 200 выстрелах мишень будет поражена не более 110 раз; 4) при 200 выстрелах мишень будет поражена ровно 115 раз.

6.   Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов некоррелированных бумаг, эффективности ej и риски gj которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления портфеля из этих бумаг равными долями. Дайте графическое изображение всех этих портфелей точками (по осям координат — эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные по Парето?

7.   Ожидаемая рентабельность актива А равна 8% со средним квадратическим отклонением, равным 7%. Ожидаемая рентабельность актива В равна 11% и среднее квадратическое отклонение 10%. Корреляция между этими активами 0,7. Найдите ожидаемую доходность и среднее квадратическое отклонение портфеля, состоящего на 35% из А и на 65% из В.

8.   Начальник отдела маркетинга компании «Петлокс» запустил провести анализ месячных доходов на рекламу и соответствующих объемов продаж всей выпускаемой продукции. В таблице приведены данные по месячным объемам выручки от реализации Barley Krisps, а также суммам расходов на рекламу данного продукта:

Месяц

Вычислите степень корреляции между двумя наборами значений и прокомментируйте зависимость между расходами на рекламу и объемом выручки от реализации Barley Krisps.

9.    Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки  было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых составило 1075 ч. Предположим, что среднее квадратическое отклонение времени время горения для генеральной совокупности известно и составляет 100 ч. Используя уровень значимости а = 0,05, проверьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп – более 1 000 ч.

  Предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и использует выборочное среднее квадратическое отклонение. Изменится ли ответ задачи? 

  10.   Некоторая компания недавно провела рекламную кампанию в магазинах с демонстрацией антисептических качеств своего нового моющего средства. Через 10 недель компания решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив еженедельные объемы продаж с расходами на рекламу (тыс. руб.).

 Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при а = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.