Контрольные задания выполняются по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (зачетной книжки, студенческого билета).

Таблица 1

При решении задач №41-50 и №61-70 используются таблицы некоторых распределений. Они приведены в учебнике [2].

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1. В первой урне находятся один белый и девять черных шаров, а во второй – один черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, взятый из третьей урны, окажется белым.

2. Из 25 лотерейных билетов 5 выигрышных. Три человека по очереди берут по одному билету (без возвращения). Найти вероятности событий:

А – первый возьмет выигрышный билет;

Б – второй возьмет выигрышный билет;

С – третий возьмет выигрышный билет.

3. В первой урне лежит один белый шар и четыре красных, во второй – один белый и семь красных. В первую урну добавляются два шара случайно выбранных из второй урны. Найти вероятность того, что шар, выбранный из первой урны, будет белым.

4. Из урны, содержащей два белых и три черных шара, извлекают по одному без возвращения все шары. Найти вероятности событий:  1) третий шар белый; 2) третий и четвертый шары белые; 3) пятый шар белый, если первый был белый.

5. В одной урне находятся один белый и два черных шара, во второй – два белых и три черных шара. В третью урну кладут два шара, случайно выбранных из первой урны, и два шара, случайно выбранных из второй. Какова вероятность того, что шар, взятый из третьей урны, будет белым?

6. Из четырех карточек с номерами 1,2,3,4 наугад берут одну, регистрируют ее номер Х и возвращают в общую совокупность. После чего вторично извлекают карточку и регистрируют ее номер Y Какова вероятность того, что хотя бы одно из чисел Х и Y равно единице, если Х+Y – четное число?

7. Из ста карточек с числами 00, 01, 02,…,98,99 случайно выбирается одна a₁ – сумма цифр на выбранной карточке, a₂ – произведение цифр на выбранной карточке. Найти Р(a₁=i/a₂=0) для i=0,1,…,18.

8. Имеется пять урн. В первой, второй и третьей урнах находятся по два белых и по три черных шара; в четвертой и пятой – по одному белому и одному черному. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

9. В первой урне находятся один красный и пять синих шаров, во второй – один синий и девять красных. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, взятый из третьей урны, окажется синим.

10. В одной урне содержатся два белых и один черный шар, во второй – три белых и два черных шара. В третью урну кладут два шара, случайно выбранных из первой урны, и два шара, случайно выбранных из второй. Найти вероятность того, что шар, взятый из третьей урны, будет белым.

11-20. Задан ряд распределения дискретной случайной величины Х. Найти М(Х), D(Х). Построить график функции распределения.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21-30. Задана плотность вероятности f(x) или функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Найти a, М[x], D[x], P(a<x<b).

31. Поток отказов некоторого устройства можно считать простейшим потоком. Плотность потока отказов a=1/12(1/час). Найти вероятность того, что: 1) за сутки произойдет хотя бы один отказ; 2) за двое суток пройдет ровно три отказа. Найти среднее время безотказной работы устройства.

32. Поток отказов аппаратуры можно считать простейшим. Среднее число отказов за 1000 часов работы равно 5. Найти вероятность того, что: 1) за 20 часов работы произойдет не менее двух отказов; 2) аппаратура проработает безотказно более 40 часов.

33. Поток неисправностей (сбоев), возникающих при работе автоматической линии, можно считать простейшим. Среднее число неисправностей за сутки равно 1,5. Какова вероятность того, что за сутки произойдет более трех сбоев? Чему равно среднее время до первой неисправности?

34. Поток отказов некоторого устройства можно считать простейшим потоком. Среднее число отказов за 1000 часов работы равно 10. Найти: 1) среднее время безотказной работы; 2) вероятность того, что за 100 часов число отказов будет больше двух.

35. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового обслуживания, можно считать простейшим. Среднее число заявок в час равно 60. Найти: 1) вероятность того, что за 3 минуты поступят ровно 3 заявки; 2) вероятность того, что число заявок за 2 минуты будет более двух.

36. Время до поступления первой заявки в систему массового обслуживания имеет показательное распределениес параметром a=1/40(1/час). Найти вероятность того, что за 80 часов работы поступят ровно 5 заявок.

37. Время до поступления первой заявки в систему массового обслуживания имеет показательное распределение с параметром a=1(1/час). Найти: 1) вероятность того, что за 5 минут поступит более одной заявки; 2) среднее число заявок за 40 минут.

38. Поток заявок, поступающих в систему массового обслуживания, можно считать простейшим. Среднее число заявок в час равно 120. Найти: 1) вероятность того, что число заявок, которые поступят за четыре минуты, будет менее трех; 2) вероятность того, что время до поступления первой заявки будет не более трех минут.

39. На ремонтную базу поступает в среднем 24 заявки в день. Поток заявок можно считать простейшим. Рабочий день восьмичасовой. Найти: 1) вероятность того, что число поступивших заявок за три часа окажется меньше четырех; 2) среднее число заявок за пять часов.

40. Время до поступления первой заявки в систему массового обслуживания имеет показательное распределение с параметром a=2(1/час). Найти: 1) вероятность того, что за 2 часа число поступивших заявок окажется больше трех; 2) среднее число заявок за 3 часа.

41-50. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a и s.

41. a=0,  Р(-2<x<2)=0,5. Найти s и Р(х>2).

42. a=0,  Р(|X-a|<15)=0,9973. Найти s и Р(х>2).

43. a=50, s²=0,01. Найти Р(Х<49,7).

44. s=5,  Р(X<10)=0,5,P(|X-a|<d)=0,9544. Найти a и d.

45. Р(X<12)=0,15  P(X>16,2)=0,4. Найти a и s.

46. s=5,  Р(X>15)=0,5. Найти P(X>25).

47. s=3,  Р(X>0)=0,5. Найти a и P(|X-a|<3,45).

48. Р(X>4,5)=0,1,P(X<4,2)=0,15. Найти a и s.

49. P(|X-a|<15=0,9973,  Р(X>10)=0,5. Найти Р(Х<8).

50. P(|X-a|<0,5=0,6826,  Р(X>10)=0,5. Найти a и s.

51-60. Задана таблица распределения дискретной случайной величины (Х и Y).

k – номер варианта. Если последняя цифра номера зачетной книжки «0», то k=10.

Найти уравнения линейных средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y. Построить полученные прямые и точки (x_i; m_y(x_i)).

61-70. Дана выборка значений случайной величины Х.

1. Найти не смещенные оценки математического ожидания и дисперсии, оценку среднего квадратического отклонения.

2. Считая, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, отвечающие надежности b=0,9  и b=0,95.

3. На уровне значимости e=0,01 и e=0,05 проверить по критерию c² гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.