Номер варианта определяется по первой букве фамилии студента

Распределение заданий по темам

Тема 1. Классическая вероятность. Комбинаторика. – задания 1, 2

Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей – задание 3.

Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса – задание 4.

Тема 4. Формула Бернулли. Формула Пуассона – задание 5.

Тема 5. Случайные величины – задания 6, 7, 8.

Тема 6. Двумерные случайные величины – задание 9.

Тема 7. Неравенство Чебышёва – задание 10.

Задания контрольной работы

Вариант 1

Задание 1. Из пятнадцати акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрёл по одной акции пяти АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

Задание 2. В коробке 9 белых шаров. Определите, сколько зеленых шаров надо положить в коробку, чтобы после этого вероятность извлечь из коробки один белый шар была не более 0,6.

Задание 3. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции 0,8. Найдите вероятность того, что из трёх накладных: а) только две оформлены правильно, б) хотя бы одна оформлена правильно, в) все три оформлены неправильно.

Задание 4. Согласно оценке, в клинике 50% мужчин и 30% женщин имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. В этой клинике женщин в три раза больше, чем мужчин. Какова вероятность, что у случайно выбранного пациента есть кардиологическое заболевание?

Задание 5. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле у стрелка 0,7. Найти вероятность того, что при 8 выстрелах будет 5 попаданий.

Задание 6. Заключен договор на строительство трех одинаковых объектов. Вероятность сдачи объекта в срок равна 0,8. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа объектов, сданных в срок. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа объектов, сданных в срок.

Задание 7. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).

Требуется:

А) определить коэффициент А;

Б) найти плотность распределения вероятностей f(x);

В) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

Г) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;

Д) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b).

Задание 8. Время безотказной работы прибора распределено по показательному закону.  Вычислите вероятность того, что прибор проработает не менее 1400 часов, если среднее время работы прибора составляет 700 часов.

Задание 9. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами Х и У. Закон распределения системы (Х,У) представлен в таблице

Найдите условную вероятность Р(Х=0,8|У=5)

Задание 10. Сумма вклада клиента сберегательного банка есть случайная величина с математическим ожиданием 15 тыс. руб. и дисперсией 0,4. Используя неравенство Чебышёва, оцените вероятность того. что сумма вклада наудачу взятого вкладчика будет заключена в границах от 14 тыс. руб. до 16 тыс. руб.

Вариант 2

Задание 1. В конкурсе популярной песни «Евровидение» участвуют представители 40 стран, по одному исполнителю от каждой страны. Все выступления разбиваются жеребьёвкой на два полуфинала, по 20 выступлений в каждом. Порядок выступления в полуфинале также определяется жеребьёвкой. Определите вероятность, что выступление представителя России состоится во втором полуфинале и будет не ранее, чем двенадцатым по счёту.

Задание 2. В коробке лежат 3 белых, 4 красных и 5 желтых пуговиц. Какое наибольшее число зеленых пуговиц можно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки желтую пуговицу была не меньше 0,25?

Задание 3. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задаёт ему вопросы до тех пор, пока не обнаружит пробел в знаниях студента. Найдите вероятность того, что будут заданы: а) три вопроса, б) менее трех вопросов.

Задание 4. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Задание 5. На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует на трех конвертах.

Задание 6. В банк поступило 7 платежных чеков. Подозревают, что среди них 4 фальшивых. Тщательной проверке подвергаются 3 случайно выбранных чека. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа фальшивых чеков, которые могут быть выявлены в ходе проверки. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х.

Задание 7. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).

Требуется:

А) определить коэффициент А;

Б) найти плотность распределения вероятностей f(x);

В) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

Г) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;

Д) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b).

Задание 8. Пачки чая упаковывают автоматически. Масса одной пачки чая распределена по нормальному закону со средним значением веса 200 граммов и средним квадратическим отклонением 5 граммов. Определите вероятность того, что вес случайно выбранной пачки чая отличается от среднего веса по абсолютной величине не более чем на 5 граммов.

Задание 9. Двумерная случайная величина (Х,У) распределена по закону: Р(Х=1, У=1)=0,15, Р(Х=1, У=2)=0,1, Р(Х=1, У=3)=0,15, Р(Х=2, У=1)=0,19, Р(Х=2, У=2)=0,15, Р(Х=2, У=3)=0,26. Найдите условную вероятность Р(У=3| Х=2).

Задание 10. Среднее количество премиальных баллов у работника фирмы составляет 48 за отчетный месяц. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что в данном отчетном месяце количество премиальных баллов не превзойдет 100.

Вариант 3

Задание 1. В магазин поступило 10 холодильников, 3 из которых имеют заводской дефект. Определите вероятность того, что среди трех выбранных холодильников будет только один с дефектом.

Задание 2. В коробке лежат 7 черных шаров. Какое наименьшее число белых шаров надо положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность извлечь наудачу из коробки черный шар была не больше 0,3?

Задание 3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,85. Определите вероятность того, что в течение часа: а) все три станка потребуют внимания рабочего, б) хотя бы один из станков не потребует внимания рабочего.

Задание 4. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. При этом 90% пачек были признаны удовлетворительными – они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% накладных были признаны неудовлетворительными, т.к. содержали уже 5% неправильно оформленных накладных. Какова вероятность того, что взятая наугад накладная оказалась неправильно оформленной?

Задание 5. Тест состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 варианта ответа, из которых только 1 правильный. Какова вероятность того, что, будучи совершенно не готовым к тесту, студент угадает правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?

Задание 6. Вероятность того, что товаром некоторой фирмы заинтересуются инвесторы после участия в выставке, равна 0,6. Фирма участвует поочередно в выставках до привлечения инвесторов. В этом году ожидается 3 выставки. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа проведенных выставок. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа проведенных выставок.

Задание 7. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).

Требуется:

А) определить коэффициент А;

Б) найти плотность распределения вероятностей f(x);

В) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

Г) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;

Д) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b).

Задание 8. Длительность работы электрической лампочки подчиняется показательному закону распределения. Определите вероятность того, что лампочка проработает не менее 300 дней, если среднее время работы электрической лампочки составляет 150 дней.

Задание 9. Задан закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х,У)

Найдите вероятность Р(У<Х).

Задание 10. По данным счетчиков потребления холодной воды месячное ее потребление в семье из трех человек является случайной величиной с математическим ожиданием 11 куб.м и дисперсией 1. Используя неравенство Чебышёва, оцените вероятность того, что в ближайший месяц расход холодной воды в семье будет от 8,5 до 13,5 куб.м.

Вариант 4

Задание 1. В коробке 6 синих, 4 красных и 5 зеленых шаров. Наудачу извлекают  3 шара. Определите вероятность того, что все три шара разного цвета.

Задание 2. В коробке 8 красных карандашей. Определите, сколько зеленых карандашей надо положить в коробку, чтобы после этого вероятность извлечь из коробки один красный карандаш была не более 0,4.

Задание 3. Только один из десяти ключей подходит к данному замку. Какова вероятность, что придется опробовать 6 ключей для открывания замка?

Задание 4. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операционистом и 47 – вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,65 и 0,78 соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту?

Задание 5. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется ровно 3 левши?

Задание 6. Вероятность того, что в пакетике с чипсами попадется призовой купон равна 0,1. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа пакетиков с призовыми купонами среди трех купленных. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Задание 7. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).

Требуется:

А) определить коэффициент А;

Б) найти плотность распределения вероятностей f(x);

В) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

Г) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;

Д) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b).

Задание 8. Число посетителей сайта представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами а=50 и s=5. Определите вероятность того, что сайт посетят от 35 до 60 человек.

Задание 9. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами Х и У. Закон распределения системы (Х,У) представлен в таблице

Найдите условную вероятность Р(У=3|Х=8)

Задание 10. Дневной расход минут на мобильную связь является случайной величиной со средним значением 23 мин. и средним квадратическим отклонением 1 мин. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что дневное время разговора по мобильному телефону будет находиться в пределах от 21 до 25 руб.

Вариант 5

Задание 1. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов в кино. Найдите вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки?

Задание 2. В ящике лежат 10 зеленых папок. Какое наибольшее число красных папок надо положить в этот ящик, чтобы после этого вероятность извлечь наудачу из ящика одну зелёную папку была не меньше 0,45?

Задание 3. Представитель фирмы при приеме двух партий некоторой продукции для контроля случайным образом выбирает по одному изделию из каждой партии. Вероятность выбора бракованного изделия из первой партии 0,1; из второй – 0,05. Найдите вероятность того, что: а) оба выбранных изделия будут с браком, б) хотя бы одно выбранное изделие будет без брака.

Задание 4. Экспортно-импортная фирма собирается зак­лючить контракт на поставку сельскохозяйствен­ного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае — в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конку­рент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

Задание 5. В группе 10 студентов. Вероятность присутствия на занятиях отдельного студента равна 0,9. Какова вероятность того, что на занятиях будет присутствовать более 7 человек?

Задание 6. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Составьте закон распределения случайной величины Х - числа попаданий мяча в корзину. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа попаданий мяча в корзину.

Задание 7. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).

Требуется:

А) определить коэффициент А;

Б) найти плотность распределения вероятностей f(x);

В) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

Г) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;

Д) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b).

Задание 8. Время ремонта принтера есть случайная величина, распределенная по показательному закону. Среднее время ремонта одного принтера составляет 10 дней. Определите вероятность того, что на ремонт принтера потребуется не менее 20 дней.

Задание 9. Задан закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х,У)

Найдите вероятность Р(У<Х).

Задание 10. Ежемесячный расход клиента со своего пенсионного вклада сберегательного банка есть случайная величина с математическим ожиданием 10 тыс. руб. и дисперсией 0,6. Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что расходы наудачу взятого вкладчика будут заключены в границах от 8 тыс. руб. до 12 тыс. руб.