НГИИ, теория вероятностей и мат. статистика (индивидуальные задания)

Каждое задание представлено в 20-ти вариантах и посвящено отдельным темам курса:

1. Задание 1 (задачи 1–20). Классическое определение вероятности события. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

2. Задание 2 (задачи 21–40). Повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Интегральная теорема Лапласа.

3. Задание 3 (задачи 41–60). Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения и числовые характеристики дискретных случайных величин.

4. Задание 4 (задачи 61–80). Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

5. Задание 5 (задачи 81–100). Нормальный закон распределения.

6. Задание 6 (задачи 101–120). Система массового обслуживания.

7. Задание 7. Первичная обработка статистических данных.

8. Задание 8. Доверительные интервалы.

9. Задание 9. Статистические гипотезы. Критерий Пирсона.

Варианты заданий 7–9 представлены в условии.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1

1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает пакет из 10 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Из пакета наудачу выбирают 6 накладных. Найти вероятность того, что среди извлечённых накладных: а) 2 с ошибками; б) хотя бы одна с ошибками.

2. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу 4 студента: а) имеют спортивный разряд; б) не имеют спортивного разряда.

3. В партии 100 изделий, из которых 4 – бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся одному потребителю.

4. В магазине было продано 12 из 20 холодильников двух марок, имеющихся в количестве 9 и 11 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки.

5. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета.

6. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется хотя бы один аудитор высокой квалификации и хотя бы один программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку.

7. Пакеты акций компаний А, В и С могут дать доход владельцу с вероятностью 0,7, 0,8, 0,6 соответственно. Найти вероятность того, что владелец пакетов акций различных фирм получит доход: а) только по одному пакету акций; б) хотя бы по одному пакету акций.

8. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,9, 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится не менее чем в двух справочниках.

9. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания рабочего 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4, четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.

10. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,9 и в третье – 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

11. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй – 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную оценку, написана студентом первой группы.

12. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II – класс средний, III класс – большой риск. Среди клиентов компании 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность выплаты страхового вознаграждения для клиента первого класса риска 0,01, для второго – 0,03, для третьего – 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

13. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность): а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.

14. На участке работают две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,89, а вероятность выполнения плана второй бригадой – 0,9. Найти вероятность выполнения плана: а) только одной бригадой; б) хотя бы одной бригадой.

15. Вероятность своевременного возвращения кредита каждым из трёх заёмщиков банку независимы и соответственно равны: 0,76; 0,89; 0,97. Найти вероятность следующих событий: а) только два заёмщика возвратят кредит своевременно; б) хотя бы один из заёмщиков возвратит кредит своевременно.

16. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что приобретённое изделие окажется нестандартным.

17. Продукция цеха проверяется двумя контролёрами, причём первый контролёр проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролёр пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролёром.

18. В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го, и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в продажу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

19. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% – с заболеванием В, 20% – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7, для болезней В и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием С.

20. Банк может выдать кредит каждому из трёх клиентов с вероятностью р1 = 0,7, р2 = 0,85, р3 = 0,8 соответственно. Вероятность возврата кредита для первого клиента равна 0,89, для второго 0,91 и для третьего 0,9. Какова вероятность того, что клиент, получивший кредит, его вернёт?

Задание 2

21. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за время t сохранятся два.

22. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность три автомобиля.

23. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из девяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы менее двух договоров.

24. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность?

25. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трёх пакетов.

26. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 10 тыс. листков число заказов будет равно 4.

27. В вузе обучаются 3 650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определённый день года, равна 1/365. Найти: а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и вероятность такого события.

28. Учебник издан тиражом 12 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг.

29. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске для первого и второго баскетболистов равны 0,6 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

30. Известно, что в среднем 70% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов?

31. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 60% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят не менее 280 студентов.

32. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставный фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1 800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб. от 300 до 400 включительно.

33. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

34. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое третье малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1 000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий.

35. Завод отправил на базу 15 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 15 000 изделий будет повреждено 3.

36. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано менее 2 пакетов.

37. В некоторой  местности  из  каждых  100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

38. Вероятность того, что фирма, проведя рекламную кампанию, продаст единицу своей продукции, составляет 0,75. Найти вероятность того, что из 200 изделий фирма реализует не менее 170.

39. Вероятность того, что случайно выбранный лицевой счёт клиента банка содержит ошибки, равна 0,05. Если при выборочной проверке счетов обнаружится, что не менее 3% отобранных счетов содержат ошибки, то оператор увольняется с работы. Найти вероятность того, что оператор будет уволен, если ревизор проверит 300 счетов.

40. Частное предприятие при определённых факторах производства выпускает в среднем 85% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 820 и 910?

Задание 3

41. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

42. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращённых в срок кредитов из 5 выданных. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

43. Контрольная состоит из трёх вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения и построить ее график.

44. В целом по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырёх. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения и построить ее график.

45. Пакеты акций трех различных компаний могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5, 0,6, 0,7 соответственно. Составить закон распределения числа пакетов акций, по которым владелец может получить доход. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

46. Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди трёх отобранных. Составить функцию распределения и построить её график.

47. Среди 15 агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа. Составить функцию распределения и построить её график.

48. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, заражённых вирусом, из четырех посаженных кустов. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

49. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырёх приборов. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

50. Радист вызывает корреспондента, причём каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если число вызовов не более 5. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

51.  В лотерее разыгрываются: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

52. В компанию сделан высокорискованный вклад 10 тыс. руб. Компания обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Составить закон распределения случайной величины – суммы прибыли, полученной от компании через год, и найти её математическое ожидание.

53. На автоматическом станке производятся одинаковые изделия, дан закон распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на станке:

Х  0 1 2 3

р  0,1 0,4 0,3 0,2

Составить функцию распределения случайной величины и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

54. Случайная величина X – выручка фирмы, полученная в течение года:

X 3  4 5

p 1/3 1/3 1/3

Составить функцию распределения случайной величины и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

55. X – затраты фирмы в год описываются законом распределения:

Составить функцию распределения случайной величины Х и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

56. Доходность Х ценных бумаг подчиняется следующему закону распределения:

Составить функцию распределения случайной величины Х (доходность портфеля из этих бумаг). Найти вероятность того, что доходность портфеля будет не менее 1,5 млн. руб.

57. Сумма выплат по договору страхования описывается законом распределения:

Х (тыс. руб.) 0 1 2 3

р 0,7 0,2 0,15 0,05

Составить функцию распределения случайной величины Х и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

58. Случайная величина Х – время простоя контролеров-кассиров в супермаркете подчиняется закону распределения:

Х 0 2 5

р 0,4 0,5  0,1

Составить F(х) и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

59. Средства, вложенные в начале года в предприятие, к концу года приносят случайный доход и возвращаются в виде случайной величины Х:

Х 0,5 1 2 3

р 0,1 0,4 0,3  0,2

Составить функцию распределения F(х), построить её график. Найти М(Х) – среднее значение возвращённых средств.

60. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий:

Х 0 10 20 30 40 50

р 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2

Составить функцию распределения F(х), построить её график. Найти М(Х) – среднее число изделий, потребляемых в месяц.

Задание 4. В задачах 61–80 случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти:

1) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1/3 ; 2/3 );

2) функцию плотности распределения вероятностей f(х);

3) математическое ожидание случайной величины Х;

4) построить графики F(х) и f(х).

Задание 5. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины Х – цена акции и построить её график; б) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a, b); в) найти вероятность того, что абсолютная величина çХ – аç окажется меньше e.

81. а = 15; σ = 0,2; a = 14,9; β = 15,3; ε = 0,1.

82. а = 16; σ = 0,3; a = 15,8; β = 16,1; ε = 0,5.

83. а = 17; σ = 0,25; a = 16,9; β = 17,3; ε = 0,7.

84. а = 19 ; σ = 0,4; a = 18,7; β = 19,2; ε = 0,3.

85. а = 20 ; σ = 0,5; a = 19,9; β = 20,3; ε = 0,7.

86. а = 21; σ = 0,4; a = 20,8; β = 21,5; ε = 0,6.

87. а = 22 ; σ = 0,3; a = 21,7; β = 22,1; ε = 0,8.

88. а = 23 ; σ = 0,5; a = 22,8; β = 23,4; ε = 0,9.

89. а = 25 ; σ = 0,4; a = 24,9; β = 25,6; ε = 0,1.

90. а = 24 ; σ = 0,5; a = 23,3; β = 24,4; ε = 0,2.

91. а = 27 ; σ = 0,8; a = 26,3; β = 27,7; ε = 0,4.

92. а = 28 ; σ = 0,9; a = 27,5; β = 28,9; ε = 0,7.

93. а = 26 ; σ = 0,7; a = 25,2; β = 26,8; ε = 0,5.

94. а = 29 ; σ = 0,5; a = 28,3; β = 29,6; ε = 0,85.

95. а = 32 ; σ = 0,8; a = 31,2; β = 33,4; ε = 0,56.

96. а = 30 ; σ = 0,6; a = 29,1; β = 30,6; ε = 0,65.

97. а = 31; σ = 0,9; a = 30,3; β = 31,8; ε = 0,48.

98. а = 35 ; σ = 0,4; a = 34,6; β = 35,9; ε = 0,84.

99. а = 33 ; σ = 0,5; a = 32,1; β = 33,8; ε = 0,59.

100. а = 34 ; σ = 0,7; a = 33,3; β = 35,7; ε = 0,38.

Задание 6. В офисе банка находится k служащих. Если клиент заходит в офис и все служащие заняты, то он уходит. Среднее число клиентов, обращающихся в офис за час, равно 𝜆. Среднее время обслуживания клиента составляет t минут. Определить: 1) вероятность того, что клиент получит отказ или будет обслужен; 2) среднее число клиентов, обслуживаемых в течение часа; 3) среднее число занятых служащих.

101. k = 5; 𝜆 = 7; t = 12.

102. k = 3; 𝜆 = 5; t = 15.

103. k = 4; 𝜆 = 6; t = 10.

104. k = 5; 𝜆 = 5; t = 20.

105. k = 3; 𝜆 = 5; t = 6.

106. k = 3; 𝜆 = 6; t = 10.

107. k = 5; 𝜆 = 8; t = 15.

108. k = 5; 𝜆 = 9; t = 12.

109. k = 4; 𝜆 = 6; t = 20.

110. k = 4; 𝜆 = 7; t = 10.

111. k = 4; 𝜆 = 6; t = 12.

112. k = 5; 𝜆 = 8; t = 20.

113. k = 5; 𝜆 = 7; t = 15.

114. k = 3; 𝜆 = 5; t = 6.

115. k = 3; 𝜆 = 5; t = 8.

116. k = 5; 𝜆 = 8; t = 10.

117. k = 5; 𝜆 = 8; t = 15.

118. k = 5; 𝜆 = 9; t = 12.

119. k = 3; 𝜆 = 5; t = 15.

120. k = 4; 𝜆 = 6; t = 10.

Задание 7 (варианты 1–20). Время, которое затрачивается работниками справочно-информационного фонда учреждения для обслуживания запросов, является случайной величиной. Можно считать, что в течение дня поступает 500 запросов. Главный менеджер компании решил предпринять выборочную проверку и выбрал 50 запросов из 500, поступивших за день, чтобы иметь представление об общем времени, необходимом для обслуживания всех поступивших запросов. Время (в минутах), истраченное на обслуживание выбранных запросов:

10 + V; 20 + V; 30 + V; 18 + V; 20 + V; 10 + V; 20 + V; 20 + V;

40 + V; 38 + V; 27 + V; 24 + V; 20 + V; 18 + V; 24 + V; 30 + V;

15 + V; 15 + V; 35 + V; 45 + V; 35 + V; 18 + V; 15 + V; 24 + V;

18 + V; 15 + V; 38 + V; 30 + V; 24 + V; 20 + V; 20 + V; 18 + V;

10 + V; 15 + V; 18 + V; 10 + V; 20 + V; 24 + V; 27 + V; 15 + V;

20 + V; 18 + V; 27 + V; 35 + V; 20 + V; 15 + V; 18 + V; 20 + V;

27 + V; 20 + V, где V – номер варианта.

Используя функции, вычислите:

· минимальное значение данных наблюдений;

· максимальное значение данных наблюдений;

· выборочную среднюю;

· моду;

· медиану;

· исправленную дисперсию;

· стандартное отклонение.

Постройте диаграмму, на которой показаны значения случайной величины и их относительные частоты.

На основе выборки найдите оценку общего времени, необходимого для обслуживания всех запросов.

Сколько сотрудников должно работать в справочно-информационной службе?

Задание 8 (варианты 1–20). Спортивный клуб проводит курс оздоровительных мероприятий для своих членов. Чтобы определить эффективность выбранных процедур оздоровления, был измерен вес 10 случайно выбранных членов клуба до проведения мероприятий по оздоровлению, и 10 других – после. Результаты приведены ниже.

V – номер варианта.

Постройте 90%, 95% и 97% доверительные интервалы:

· для среднего веса членов клуба перед курсом;

· среднего веса членов клуба после курса.

Какой вывод можно сделать об эффективности курса?

Задание 9 (варианты 1–7). Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с заданным эмпирическим распределением (табл. 4).

Таблица 4

V – номер варианта.

Задание 9 (варианты 8–14). В течение 10 ч регистрировали прибытие автомашин к бензоколонке и получили эмпирическое распределение, приведенное в табл. 5 (в первом столбце указан интервал времени в часах, во втором столбце – частота, т.е. количество машин, прибывших в этом интервале). Всего было зарегистрировано 120 + 10V машин (V – номер варианта). Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время прибытия машин распределено равномерно.

Таблица 5

Задание 9 (варианты 15–20). В итоге проверки на нестандартность 185 + V (V – номер варианта) ящиков консервов получено следующее эмпирическое распределение (табл. 6) (в первой строке указано количество x_i  нестандартных коробок консервов в одном ящике; во второй строке – частота mi , т.е. число ящиков, содержащих x_i коробок нестандартных консервов). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – число нестандартных коробок – распределена по закону Пуассона.

Таблица 6