Случайные события

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта (V – номер варианта).

2. Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие  А  и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние. Вычисления произвести, по возможности, точно.

Задание 1.

Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1.1. на обеих монетах появится «герб»,

1.2. хотя бы на одной монете появится «герб»;

1.3. ни на одной монете не появится «герб»;

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

1.4. на всех монетах появится «герб»;

1.5. хотя бы на одной монете появится «герб»;

1.6. только на двух монетах появится «герб»;

1.7. только на одной монете появится «герб»;

1.8. ни на одной монете не появится «герб».

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

1.9. на всех монетах появится «герб»;

1.10. хотя бы на одной монете появится «герб»;

1.11. только на одной монете появится «герб»;

1.12. только на двух монетах появится «герб»;

1.13. только на трех монетах появится «герб»;

1.14. ни на одной монете не появится «герб».

Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:

1.15. только четные;

1.16. одно четное, другое нечетное;

1.17. произведение которых четно;

1.18. произведение которых нечетно;

1.19. сумма которых четна;

1.20. сумма которых нечетна;

1.21. сумма которых не меньше девяти;

1.22. сумма которых меньше шести;

1.23. сумма которых больше восьми;

1.24. произведение которых меньше шести;

1.25. произведение которых больше восьми;

1.26. которые все одинаковы;

1.27. которые все различны.

Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков

1.28. которые все одинаковы;

1.29. которые все различны;

1.30. сумма которых меньше шести;

1.31. сумма которых равна шести;

1.32. произведение которых равно шести.

Задание 2.

В урне содержится  К  черных и  Н белых шаров. Случайным образом вынимают  М  шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) Р белых шаров;

б) меньше, чем  Р, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров  К, Н, М  и  Р  по вариантам приведены в табл.1.

Таблица 1

Задание 3.

Варианты 1-8

В семье n детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятности следующих событий:

а) В семье m  мальчиков и k девочек

б) Число мальчиков в семье от m₁ до m₂

Варианты 9-16

На заводе работает линия из n однотипных станков. Вероятность поломки одного станка в течение смены р . Найти вероятности следующих событий:

а) В течение одной смены сломается m станков

б) Число сломанных станков в течение одной смены будет в пределах от m₁ до m₂

Варианты 17-24

Игральная кость бросается n раз. Найти вероятности следующих событий:

а) «Шестерка» выпадет m раз

б) Число выпадений “шестерки” будет в пределах от m₁ до m₂

Варианты 25-32

При передаче сообщения вероятность искажения одного знака р. Переданное сообщение содержит в себе n знаков. Найти вероятности следующих событий:

а) В переданном сообщении искажено m знаков.

б) Число искаженных знаков в переданном сообщении от m₁ до m_2.

Задание 4.

В урне содержится всего К шаров: черных и белых. Из урны случайным образом вынимают  М шаров. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, полагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможны.

Значения параметров  К   и  М  по вариантам приведены в табл. 3.

Таблица 3

Случайные величины

1) Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для вашего варианта.

2) Определить исходные данные и результаты.

3) Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи микрокалькулятора и таблиц.

4) Построить требуемые графики.

Задание  1. Случайная величина X задана рядом распределения:

Найти функцию распределения  F(x) случайной величины Х  и построить ее график. Вычислить для  Х  ее среднее значение M(X), дисперсию D(X) и моду Мо.

Значения параметров  x₁, x₂, x₃, x₄,  p₁,  p₂,  p₃, p₄  вычислить по следующим формулам:

Задание 2. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности

Определить коэффициент К и записать функцию плотности вероятности случайной величины X. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение М(Х), дисперсию D(X), среднеквадратичное отклонение.

Значения параметров а и b вычислить по следующим формулам:

a=2+V, b=3+V

Задание 3. Случайная величина  Х  задана  функцией распределения:

Найти функцию плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение М(Х), дисперсию D(X), среднеквадратичное отклонение.

Значение параметра  К  вычислить по формуле:

К = 3 + V.

Задание 4. Задана случайная величина Х Î N(m, s). Найти  вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале [а, b];

б) меньше К;

в) большее L;

г) отличающееся от своего среднего       значения    по абсолютной величине не больше чем на  e.

Значения параметров m, s, а, b, К, L и  e  вычислить  по следующим формулам:

m  = V, s = остаток (V/8) + 2,  S = остаток (V/5) + 1,

a = V - S,   b = V + 2S,  K=V -  S,  L= V + 2S,  e  = S.

Элементы математической статистики

Задание 1. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины х _i , а во второй строке – численность каждой группы значений m _i . Найти объем выборки n; относительные частоты р _i , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 21

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

Вариант 28

Вариант 29

Вариант 30