В контрольной работе каждый студент решает семь задач.

По темам 1, 3, 4, 5, 6 студент выбирает по одной задаче, по теме 2 – две задачи: номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки студента

Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

Решить задачи (нумерация задач выполнена по вариантам с 0 по 9):

0) На катере пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трёх флажков, вывешенных в определённом порядке. Сколько различных сигналов может подать катер?

1) В группе из 20 студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать?

2) Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для её заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов?

3) Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке 1000 наименований книг?

4) В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют 6 видов, причём берется одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить?

5) Для составления новогодних подарков куплено 6 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Для составления одного подарка используется 4 вида шоколадных конфет и 5 видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)?

6) Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав красок?

7) На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?

8) Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восьмерых для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьмерых?

9) Имеется колода в 36 карт. Сколькими различными способами можно выбрать из неё:

а) три карты;

б) три карты, одна их которых – пиковая дама;

в) три туза;

г) три карты крестовой масти;

д) три красные карты?

Тема 2. Понятие случайного события.

Классическое определение вероятности события

Решить задачи.

0 вариант

Задача 1) Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «книга», затем буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются одна за другой в некотором порядке. Найти вероятность того, то снова получится слово «книга».

Задача 2) Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:

а) только упаковки с товаром первого сорта;

б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.

1 вариант

Задача 1) Из 20 яблок, находящихся в корзине, 6 яблок – сорта «шафран». Найти вероятность того, что взятое из корзины яблоко не принадлежит сорту «шафран».

Задача 2) В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12 человек соответственно). Вычислите вероятность того, что из членов группы в первом отеле:

а) все туристы говорят хорошо по-английски;

б) только один турист хорошо говорит по-английски.

2 вариант

Задача 1) В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.

Задача 2) В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из них сорта «Мишка на Севере», а остальные — сорта «Красная Шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них: а). Все конфеты сорта «Мишка на Севере»; б). Только одна конфета этого сорта.

3 вариант

Задача 1) Автомат, изготавливающий однотипные детали, даёт в среднем 6% брака. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная.

Задача 2) В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них:

а) все книги имеют дефект обложки;

б) только одна книга имеет этот дефект.

4 вариант

Задача 1) Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А₁ – выпало 5; А₂ – выпало число, кратное трём; А₃ – выпало число, меньшее 5.

Задача 2) К экзамену приготовлено 24 одинаковых ручек.. Известно, что треть из них имеет фиолетовый стержень, остальные - синий стержень. Случайным образом отбирают три ручки. Вычислить вероятность того, что:

а) все ручки имеют фиолетовый стержень;

б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень.

5 вариант

Задача 1) В урну помещают 4 белых и 6 черных шаров и хорошо их перемешивают.

а) Какова вероятность того, что извлеченный из урны шар – черный?

б) Из урны извлекают два шара. Какова вероятность того, что: 1) оба они – черные; 2) хотя бы один из шаров – черный; 3) извлеченные шары – разных цветов?

Задача 2) В нижней палате парламента 40 депутатов, среди которых первая партия имеет 20 представителей, вторая — 12 представителей, третья 5 представителей, а остальные считают себя независимыми. Случайным образом выбирают трех депутатов. Вычислите вероятность того, что среди них:

а) только представители первой партии,

б) только один депутат из первой партии.

6 вариант

Задача 1) Из коробки, в которой находятся 6 карандашей и 7 ручек, вынимают два предмета. Найти вероятности следующих событий: А₁ – оба вынутых предмета – ручки; А₂ – вынута хотя бы одна ручка; А₃ – вынуты ручка и карандаш.

Задача 2) В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них:

а) только пиво сорта «Жигулевское»;

б) ровно одна бутылка этого сорта.

7 вариант

Задача 1) Продано 120 билетов лотереи, из них 10 – выигрышные. Некто купил 2 билета. Найти вероятность того, что хотя бы один из его билетов окажется выигрышным.

Задача 2) В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что:

а) все девушки оценят этот подарок;

б) только одна девушка оценит этот подарок.

8 вариант

Задача 1) Студент знает ответы на 10 вопросов из 20. Ему задают три вопроса, выбранные случайно из списка. Найти вероятность того, что он: а) ответит не на все вопросы; б) не ответит на все вопросы; в) ответит на один вопрос.

Задача 2) В коробке 30 одинаковых юбилейных монет. Известно, что 5 из них имеют нестандартный процент содержания золота. Случайным образом выбирают три монеты. Вычислите вероятность того, что:

а) все монеты имеют нестандартный процент содержания золота;

б) только одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.

9 вариант

Задача 1) Среди 100 изделий 20 бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий будет три бракованных.

Задача 2) На витрине 32 одинаковых булочки. Известно, что среди них четверть булочек с изюмом, остальные с корицей. Случайным образом отбирают три булочки. Вычислите вероятность того, что:

а) все выбранные булочки с изюмом;

б) только одна булочка с изюмом.

Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Решить задачи:

0) Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равны соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?

1) Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат - выпавшее число очков. Рассмотрим события: А₁ – выпавшее число кратно трём; А₂ – выпавшее число нечетно; А₃ – выпавшее число не меньше трёх; А₄ – выпавшее число не больше двух; А₅ – выпало число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события А₂, А₃, А₁А₂, А₁+А₂, А₁А₃, А₁+А₃, А₁А₄, А₁+А₄, А₁А₅, А₂А₃, А₂А₅, А₂+А₅, А₃А₄, А₃+А₄, А₃А₅, А₄+А₅, А₁+А₂+А₅.

2) Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара. Найти вероятность того, что они будут одного цвета.

3) Из колоды в 36 карт вынимают 7 карт. Найти вероятность того, что среди них 4 дамы или 4 короля.

4) Один раз подбрасывается игральная кость. События: А – выпало простое число очков; В – выпало четное число очков. Вычислить вероятности Р(А) и Р(А/В).

5) Два раза подбрасывается игральная кость. События: А – оба раза выпало число очков, кратное 3; В – оба раза выпало одно и то же число очков. Вычислить вероятности Р(А) и Р(А/В).

6) Из колоды в 36 карт вынимают две карты. Найти вероятность того, что: а) это тузы; б) это тузы при условии, что вынуты красные карты.

7) Заключение сделки состоит из двух последовательных независимых этапов. Вероятность успешного прохождения первого этапа равна 0,9, второго этапа – 0,8. Найти вероятность того, что сделка будет заключена.

8) Коммерсант договаривается о поставке товаров с двумя поставщиками, действующими независимо друг от друга. Вероятность того, что первый поставщик поставит товар, равна 0,95, а того, что второй – 0,6. Найти вероятность того, что коммерсант получит товар (т.е. товар поставит хотя бы один поставщик).

9) В магазине установлены две независимо работающие системы сигнализации. Вероятность несрабатывания первой системы равна 0,05, второй системы – 0,02. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработает хотя бы одна система сигнализации.

Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Решить задачи:

0) Из изделий высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течении года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший телевизор собран из деталей высокого качества.

1) На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.

2) На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

3) Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно произведено на станке 3-го типа.

4) Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.

5) В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из неё извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный.

6) Из урны, содержащей 5 белых и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад шар из второй урны окажется белым.

7) Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

8) В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия 200 единиц, из них 50 первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица товара 1-го сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?

9) Упаковка сосисок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля брака среди продукции, произведённой первым автоматом, равна 5%, вторыми автоматом – 7%. Наугад взятая упаковка оказалась бракованной. Найти вероятность того, что сосиски были упакованы на первом автомате.

Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.

Локальная и интегральные теоремы Лапласа.

Решить задачи:

0) Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) 75 раз; б) от 75 до 84 раз; в) менее 75 раз; г) не менее 70 раз.

1) Монету бросают 6 раз. найти вероятность того, что: а) герб выпадает три раза; б) герб выпадает один раз; в) герб выпадет не менее двух раз.

2) Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Считая, что вероятность попадания при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов равна 0,8, найти вероятность того, что стрелок попал в мишень: а) два раза; б) не более трёх раз; в) хотя бы один раз; г) один раз.

3) в среднем 10% автомобилей, производимых заводом, имеют брак. Для контроля из партии автомобилей взяли 5 машин. Найти вероятность того, что среди них будет: а) 3 машины без брака; б) не более 3 машин без брака.

4) Вероятность  того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В отдел магазина поступило 20 телевизоров. Что вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

5) Устройство состоит из 7 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,1. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из семи.

6) Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течении одного часа он позвонит на станции, равна 0,02. Найти вероятность  того, что в течении часа позвонят: а) 5 абонентов; б) не менее трех абонентов.

7) Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,03. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) более двух.

8) Среди семян пшеницы 0,6 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить: а) ровно шесть семян сорняков; б) более трёх семян сорняков?

9) Игральную кость подбрасывают 180 раз. Найти вероятность того, что единица выпадет: а) 33 раза; б) от 20 до 29 раз; в) менее 35 раз; г) не менее 25 раз.

Тема 6. Дискретная случайная величина. Функция и характеристики ее распределения

Задан закон распределения ДСВ X (см. ниже варианты заданий).

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).

Варианты заданий по теме 6:

0)

y=/x-1/

1)

y = 2x + 3

2)

y = x² – 1

3)

y = –2x + 1

4)

y=/x/

5)

y = 5x – 2

6)

y=4/x/-1

7)

y = x² + 2

8)

y = x² + 3

9)