Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера зачетной книжки (или по последней цифре порядкового номера Ф.И.О. студента в списке журнала группы, если он взят за основу при определении варианта); цифра "0" означает вариант 10.

Задача 1.

13 студентов из 66 комнаты общежития вместе готовились к каждому из шести зачетов. Из 30 вопросов каждой программы они успели выучить по m вопросов. Преподаватели разрешили каждому студенту случайным образом выбрать из всей программы:

1-ый и 4-ый преподаватели – по 2 вопроса,

2-ый и 5-ый преподаватели – по 3 вопроса,

3-ый и 6-ый преподаватели – по 4 вопроса.

При этом первые три преподавателя (излишне строгие, особенно молодой третий) ставили зачет только при ответе на все выбранные вопросы, а 4-ый, 5-ый и 6-ой (молодой и излишне добрый) ставили зачет по своему предмету при ответе хотя бы на один из выбранных вопросов. Требуется найти вероятность получения зачета отдельно взятым студентом по каждому предмету. Определить законы распределения случайных величин X_i – количества студентов, сдавших зачет по i-му предмету и найти соответствующие математические ожидания M[X_i]  (i=1,2,...,6).

1.1. m=11

1.2. m=12

1.3. m=13

1.4. m=14

1.5. m=15

1.6. m=16

1.7. m=17

1.8. m=18

1.9. m=19

1.10. m=20

Задача 2.

2.1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее на удачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

2.2. В урне 5 белых шаров и 4 черных шара. Наудачу извлекается 4 шара. Найдите вероятность того, что будут извлечены два белых и два черных шара.

2.3. Вероятность улучшения спортсменом  личного достижения по прыжкам в длину равна 0,4. Чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать три раза.

2.4. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складывают в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в 2 раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая из ящика наудачу деталь будет бракованной.

2.5. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность того, что, вынув наудачу с возвращением 6 шаров, получим белых не менее 3-х.

2.6. На факультете насчитывается 1460 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно пяти студентов.

2.7. Три стрелка  в одинаковых независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень; б) только два стрелка попадут в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень.

2.8. В первой бригаде токарей 2 рабочих имеют первый разряд, 2 рабочих – второй, 5 рабочих – четвертый. Во второй бригаде 1 токарь имеет первый разряд, 4 токаря – третий, 2 токаря –четвертый. Из первой бригады во вторую переведен один токарь. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу выбранный из нового состава второй бригады имеет разряд не ниже второго.

2.9. В правом кармане имеется три монеты по 1 рублю и четыре монеты по 50 копеек, а в левом - шесть монет по 1 рублю и три монеты по 50 копеек. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана (после перекладывания) монеты в 1 рубль, если монета берется наудачу.

2.10. Вероятность нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равна 0,12. Найти вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.

Задача 3.

Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Известны вероятность p₁ возможного значения x₁, математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины:

Задача 4.

Случайная величина X задана функцией распределения  (интегральной функцией) F(X). Найти плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) f(X), математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Построить графики интегральной и дифференциальной функций:

Задача 5.

Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины X. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал .

Задача 6.

Из генеральной совокупности X, распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

1. Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению выборки:

2. Построить полигон относительных частот;

3. Построить график эмпирической функции распределения;

4. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью  найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

6.1. = 0,95

6.2. = 0,99

6.3. = 0,95

6.4. = 0,99

6.5. = 0,99

6.6. = 0,95

6.7. = 0,95

6.8. = 0,99

6.9. = 0,95

6.10. = 0,99

Задача 7.

Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы значений x_i-1-x_i исследуемого количественного признака X генеральной совокупности; во второй – частоты m_i, т.е. количество элементов выборки, значения x признака которых принадлежат указанному интервалу). Требуется:

1) Построить полигон относительных накопленных частот (кумулятивную кривую);

2) Построить гистограмму частот и гистограмму относительных частот;

3) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, моду и медиану;

4) Проверить на уровне значимости  гипотезу о нормальном распределении признака X генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;

5) В случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью  доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака X генеральной совокупности.

Задача 8.

Проведите сравнительный анализ результатов педагогического эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона.

,  где  и , .

Уровень значимости

Задача 9.

Исследуется зависимость коэффициента усвоения знаний, выраженного в процентах (y%) от уровня посещаемости занятий (x%) в группе из четырнадцати учащихся (i- порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки параметров линейной регрессии y на x. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне значимости  проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью  найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

Задача 10.

Предположим, что в педагогическом эксперименте участвовали три группы студентов по 10 человек в каждой. В группах применили различные методы обучения: в первой – традиционный (F₁), во второй – основанный на компьютерных технологиях (F₂), в третьей – метод, широко использующий задания для самостоятельной работы (F₃). Знания оценивались по десятибалльной системе.

Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости .

Результаты экзаменов заданы таблицей, F_j – уровень фактора x_ij – оценка i-го учащегося обучающегося по методике F_j.