Индивидуальные задания по вариантам

Задача 1

1. В первом ящике находятся шары с номерами 1,2,3,4, во втором – с номерами 5,6,7,8. Из каждого ящика наудачу вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров равна 11.

2. В коробке содержится 3 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке.

3. Сто лотерейных билетов с номерами от 1 до 100 упакованы в пачку. Найти вероятность того, что порядковый номер наудачу взятого билета, не содержит цифру 0?

4. Бросили два игральных кубика. Какова вероятность, что  сумма выпавших очков делится на 4?

5. Бросают две монеты. Какова вероятность, что  выпадет два «орла»?

6. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают одну. Какова вероятность, что  карта окажется тузом?

7. В лотерее на каждые 100 билетов разыгрывается по5 вещевых и 3 денежных выигрышей.  Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого,  для владельца одного билета?         

8. Играя с кубиками, ребенок составляет их в ряд. Какова вероятность, что  из трех кубиков с буквами К,К,О,  окажется составлено слово КОК.

9. В каждой из двух урн находится по 8 шаров, пронумерованных от 1 до 8.                                  

Из каждой урны вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что окажутся вынутыми шары с одинаковыми номерами? 

10. Куб, все грани которого окрашены, разрезан на тысячу одинаковых кубиков. Какова вероятность того, что наудачу взятый кубик имеет две окрашенные грани?

Задача 2

1. В двух коробках лежат фрукты. В 1-ой –20 яблок и 25 груш; во 2-ой – 30 яблок и 15 груш. Из коробок наудачу отбирают по одному фрукту. Найти вероятность того, что среди них окажется: а) только одно яблоко;

б) хотя бы одно яблоко; в) все груши.

2. На полке стоят 15 книг, 6 из них по математике. Наудачу отбирают 2 книги. Найти вероятность того, что среди них по математике окажется:

а) только одна; б) ни одной; в) хотя бы одна книга.

3. В отделе реализации компании 7 мужчин и 13 женщин. Наудачу отбирают 2 человека. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна женщина; б) оба мужчины; в) хотя бы один мужчина.

4. Иванов попадает в цель в среднем 8 раз из 10 выстрелов, Петров – 6 раз из 10. Оба делают по выстрелу. Найти вероятность того, что а) цель будет поражена; б) только один попадет; в) оба промахнуться.

5. На подносе 10 бокалов с шампанским, 6 из них с сухим, остальные с полусладким. Наудачу берут 2 бокала. Найти вероятность того, что среди отобранных:  а) только один бокал с сухим шампанским;  б) оба с полусладким;  в) хотя бы один бокал с полусладким.

6. В двух коробках по 20 кубиков, в одной 8 кубиков из 20 – зеленого цвета, в другой – 7 из 20. Наудачу берут по одному кубику из каждой коробки. Найти вероятность того, что среди отобранных кубиков:  а) только один зеленого цвета; б) оба зеленые; в) оба кубика другого цвета.

7. В магазине на полке стоят 10 чайных пар, 3 из них со скрытым дефектом. Покупатель просит продать 2 пары. Найти вероятность того, что:

а) продавец сразу подаст 2 хороших пары; б) продавцу придется менять одну пару;  в) продавцу придется менять обе пары.

8. На полке 10 дисков, на 8 из них есть запись. Наудачу берут 2 диска. Найти вероятность того, что среди них:  а) оба диска чистые;  б) хотя бы один диск чистый; в) хотя бы один с записью.

9. В двух коробках по 20 пар перчаток. В первой – 8 пар размера L, во второй – 10- пар размера L. Наудачу отбирают по паре из каждой коробки. Найти вероятность того, что среди отобранных:

а) только одна пара перчаток размера L;

б) хотя бы одна пара перчаток размера L.

10. В двух ящиках холодильной камеры по 30 упаковок мороженного, в первом ящике 16 с орехами, во втором – 18 с орехами. Наудачу берут по одной упаковке из каждого ящика. Найти вероятность того, что среди них окажется:  а) только одно мороженое с орехами;

б) оба мороженых без орехов.

Задача 3

1. Фирма получает комплектующие от трех поставщиков А, В и С. Поставщик А поставляет 40% общего объема поставок, В – 35%, С – 25%. Из практики известно, что 1% поставляемых А деталей с браком, для В – 2%, для С – 2,5%. Какова вероятность поступления бракованной детали на сборку и что вероятнее, она от поставщиков А, В или С?

2. Покупатель посещает 1-ю булочную в два раза чаще, чем 2-ю. Вероятность того, что нужный сорт хлеба есть в булочной,  для 1-ой равна  0,4; для 2-ой – 0,7 . Покупатель купил хлеб. Что вероятнее: он купил его в 1-ой или  2-ой булочной?

3. В 1-ой партии микросхем 14 штук, во 2-ой – 16 и в 3-ей – 20 штук. Доля микросхем с браком, равна соответственно 2%, 1% и 1,5%. Выбранная наугад микросхема оказалась качественной. Что вероятнее: она из 1-ой, 2-ой или 3-ей партии?

4. Над аэродромом в 35% случаев облачная погода. Вероятность взлета без задержек при хорошей погоде равна 0,9;  при облачной – 0,6. Найти вероятность того, что самолет взлетит вовремя.

5. При установившемся технологическом процессе 2/3 всей продукции станок-автомат выпускает 1-м сортом, а остальную – 2-м. В среднем 1% продукции 1-го сорта имеет скрытые дефекты и 2,2% продукции 2-го сорта имеет скрытые дефекты. Наудачу взятое изделие оказалось со скрытым дефектом. Что вероятнее: оно 1-го сорта или 2-го сорта?

6. В центральную бухгалтерию фирмы поступают для проверки пачки накладных из трех цехов. Из 1-го цеха поступает 40% всех накладных, из 2-го – 25%, из 3-го – 35%. Доля накладных, оформленных неправильно, равна соответственно 1%, 1,5% и 2%. Взятую наугад накладную пришлось переоформлять. Что вероятнее: она из 1-го, 2-го или 3-го цеха?

7. В производственном отделе компании 20 мужчин и 6 женщин, в отделе реализации 10 мужчин и 15 женщин, на автобазе 10 мужчин и 4 женщины. Из всех служащих отбирается наугад один человек, и это женщина. Что вероятнее: она из производственного отдела, из отдела реализации или с автобазы?

8. В трехъярусной коробке конфет в 1-ом слое лежат 25 конфет, из них с помадкой 10; во 2-ом слое – 30 конфет, с помадкой 15; в 3-м слое – 20 конфет, с помадкой 12. Взятая конфета оказалась с помадкой. Что вероятнее: она из 1-го, 2-го или 3-го слоя?

9. Куплено три коробки мандарин, в которых содержится 60, 65 и 55 штук соответственно. Вероятность того, что  мандарин испортился, для 1-ой коробки равна 0,4; для 2-ой – 0,3; для 3-ей – 0,5. Взятый наугад мандарин испорчен. Сравните вероятности, что он из 1-ой, 2-ой или 3-ей коробки.

10.В команде 22 лыжника и 8 слаломистов. Вероятность получить травму для лыжника равна 0,1 и для слаломиста – 0,3. Спортсмен получил травму. Что вероятнее: он лыжник или слаломист?

Задача 4

1. Студент в среднем решает 8 задач из 10. Найти вероятность того, что из 6 задач контрольной работы он решит 4, не менее 4.

2. Средний процент нарушения работы телевизора в течение года равен 12. Найти вероятность того, что из пяти проданных в течение дня телевизоров не менее трех придется ремонтировать, только один придётся ремонтировать.

3. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,7. Найти вероятность того, что из шести поездов опоздают не более двух, все 6 придут вовремя.

4. Сидоров попадает в цель 80 раз из 100. Какова вероятность того, что при четырех контрольных выстрелах он поразит цель не менее двух раз, промахнётся три раза.

5. Два равносильных шахматиста играют партии. Что вероятнее: выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?

6. Из 25 студентов группы двадцать сдают экзамен с первого раза. Найти  вероятность того, что следующий экзамен из 8 человек сдадут больше половины, сдадут только 2 студента.

7. Найти вероятность того, что в семье с тремя детьми будет хотя бы один мальчик, только один мальчик.

8. В коробке одна треть конфет с мармеладом. Найти вероятность того, что среди шести взятых конфет хотя бы одна будет с мармеладом, все без мармелада.

9. Хозяйка купила дорогой пакет с десятью семенами помидор. На пакете указана всхожесть 85%. Найти вероятность того, что у нее взойдет не менее семи семян, только пять взойдёт.

10. Из ста билетов лотереи выиграют 15. Найти вероятность того, что из шести купленных билетов хотя бы один выиграет, только один выиграет.

Задача 5

1. В здании института 600 электроламп, вероятность включения каждой из которых равна 0, 6. Найти наивероятнейшее число включенных ламп и соответствующую вероятность. Какова вероятность того, что будет включено от 400 до 600 ламп?

2. Средний процент отдельных дефектов в обуви, выпускаемой фабрикой, равен 25. Найти наивероятнейшее число пар качественной обуви среди 200 пар поступившей в магазин обуви и вероятность того, что обуви с дефектом будет от 30 до 50 пар.

3. Вероятность того, что билет окажется выигрышным, рана 0,1. Найти вероятность того, что в пачке окажется только один выигрышный билет, если пачка содержит 150 билетов; не менее 10  выигрышных.

4. Вероятность того, что саженец сосны погибнет, равна 0,2. Найти наивероятнейшее число прижившихся саженцев среди 150 посаженных и соответствующую вероятность. Какова вероятность того, что погибнет от 20 до 30 саженцев?

5. В маршрутном такси едут 40 пассажиров. Вероятность выхода каждого из них на следующей остановке равна 0,25. Найти наивероятнейшее число пассажиров, которые выйдут на следующей остановке и соответствующую вероятность и вероятность того, что выйдут от 8 до 10 человек.

6. В среднем  70% всех машин серебристого цвета. В гараже 60 машин. Найти вероятность того, что 40 машин из них серебристого цвета, не более 20 машин другого цвета.

7. В книжном отделе 80% книг дороже 100 рублей. Покупают 30 книг, найти наивероятнейшее число книг дороже 100 рублей, соответствующую вероятность и вероятность того, что дешевых книг будет от 3 до 6.

8. Найти наивероятнейшее число выпадений «герба» при 100 бросаниях монеты и соответствующую вероятность, а также вероятность того, что «решка» появится от 60 до 70 раз.

9. «Пикра» производит в среднем 10% кваса «Кузнецовский» (из всех сортов кваса). Найти наивероятнейшее число бутылок с этим квасом среди 100 привезенных в магазин, соответствующую вероятность и вероятность того, что бутылок с квасом другого сорта будет от 80 до 90.

10.При штамповке получается в среднем 90% годных изделий. Найти вероятность того, что из 200 полученных изделий годных окажется только 150, не менее 180 годных.

Задача 6

Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 7

1. Известно, что детали по размерам диаметра распределяются по нормальному закону. Параметры этого закона известны М(Х) = 5; D(Х) =0.81. Найти вероятность того ,что диаметр наудачу  взятой детали имеет размеры от 4 до 6 см.

2. Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами     а=0.375 кг, =25 г. Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы составит от 300 до 400 г.

3. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами а=16 км, =100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими  пунктами не меньше 15.8 км и не более 16.3 км.

4. Масса вагона - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 60 т  и  средним квадратическим отклонением 0.9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 68 т, но не менее 55 т.

5. Случайная величина Х-средние товарные запасы ( млн. руб.) – подчинена нормальному закону распределения с параметрами М(х)=40 и D(x)=25. Найти вероятность того, что средние товарные запасы составят от 40 до 45 млн.руб.

6. Случайная величина Х - товарооборот (млн. руб.) - подчинена нормальному закону распределения с параметрами М(х)=100 и D(x)=49. Найти вероятность того, что товарооборот составит от 95 до 105 млн. руб.

7. Масса коробки конфет - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 150 г и  дисперсией 25 г². Найти вероятность того,  что вес одной коробки не больше 160 г и не меньше 140 г.

8. Пусть вес хлебного батона подчиняется нормальному закону с параметрами а=375 г, = 15 г. Найти вероятность того, что вес одного наудачу взятого батона будет от 360 до 385 г.

9. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 170 см, а дисперсия 36 .  Вычислить вероятность того, что рост наудачу выбранного мужчины не менее 168 см. и не более 172 см.

10. Численность работников прилавка (чел.) является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 72, а дисперсия 16. Вычислить вероятность того, что численность работников прилавка в отдельно взятом магазине будет от 69 до 75 человек.

Задача 8

Известно распределение студентов группы института  по числу пропусков занятий  Х час за год (см. табл. ). Полагая, что изменчивость величины признака Х описывается законом нормального распределения, требуется:

1. Вычислить выборочное среднее, «исправленное» стандартное отклонение S(X) и коэффициент вариации V изучаемого признака Х;

2. Найти доверительный интервал для среднего числа пропусков  а на уровне заданной надёжности . Сделать анализ полученных результатов.

1. =0,95

2. =0,99

3. =0,999

4. =0,90

5. =0,99

6. =0,95

7. =0,90

8. =0,99

9. =0,95

10. =0,95

Задача  9

Получено распределение работников торгового предприятия по заработной плате Х усл.ед. (см. табл.). Требуется:

1. Построить гистограмму относительных частот для наблюдаемых значений признака Х.

2. Вычислить выборочное среднее, выборочное стандартное отклонение и коэффициент вариации V изучаемого признака.

3. Полагая, что изменчивость величины признака Х описывается законом нормального распределения, найти доверительный интервал для ожидаемого  среднего значения а заработной платы работников данного предприятия на уровне надёжности .

1. =0,9108

2. =0,9642

3. =0,8904

4. =0,9544

5. =0,9722

6. =0,9282

7. =0,9010

8. =0,9030

9. =0,9050

10. =0,9128

Задача  10

Собраны данные о средних товарных запасах  Х и товарообороте Y (в условных единицах) однотипных магазинов.

По заданным значениям пар (х_i,y_i) построить корреляционное поле.

Считая, что между признаками X и Y имеет место линейная зависимость, вычислить  коэффициент корреляции r_В. Сделать вывод о тесноте и направлении связи между  X и Y.

Найти выборочное уравнение регрессии Y на Х и построить полученную прямую на поле корреляции.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.