Вариант -1

1. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно составить из букв слова «БУРАН» (допускаются слова не имеющие в русском языке смысла)?
2. В ящике 13 зеленых, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шариков. Сколько существует способов выбрать 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шарика?   
3. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выти на любом (начиная со второго) этаже. Какова вероятность того, что  все вышли а) на разных этажах; б) на одном этаже; в) на пятом этаже?
4. Дается залп из 3 орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91, из третьего – 0,8. Найти вероятность 1) поражения цели, если для поражения достаточно хотя бы одного попадания; 2) промаха всех трех орудий; 3) ровно одного попадания в мишень; 4) ровно двух попаданий в мишень.         
5. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятности того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равны: 0,9, 0,8 и 0,7. 1) Какой процент бракованных деталей выпускает цех в целом? 2) Известно, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной. На каком автомате вероятнее всего была произведена эта деталь?           
6. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди восьми автомобилей имеют некомплектность не менее трёх.
7. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что  в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) не менее 480; в) от 480 до 520.
8.  Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределения

9. Производится 3 независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания 2/3 при каждом выстреле. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность хотя бы одного промаха.

10.  Случайная величина задана функцией распределения. Найти: 1) неизвестный параметр А; 2) плотность распределения; 3) математическое ожидание и дисперсию; 4) вероятность попадания в интервал (0, 1/4).  Построить графики F(x) и f(x).

11. Задана матрица вероятностей перехода цепи Маркова из состояния ___в состояние ___ за один шаг. Найти матрицу ___ перехода из состояния ___ в состояние ___ за два шага.

Вариант 2

1. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?
2. В турнире участвуют 6 человек. Сколькими способами могут распределиться все места между ними?
3. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают три карандаша. Какова вероятность того, что а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
4. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что 1) корреспондент услышит вызов радиста (достаточно услышать хотя бы один вызов); 2) корреспондент не услышит вызов радиста; 3) корреспондент услышит только один вызов радиста; 4) корреспондент услышит ровно два вызова радиста.
5. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. 1) Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной? 2) Известно, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной. На каком автомате вероятнее всего была произведена эта деталь?
6. Изделия некоторого производства содержит 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий нет ни одного испорченного; будет менее двух испорченных.
7. Аудиторную работу по теории вероятностей выполняют успешно с первого раза 50% студентов. Найти вероятности того, что из 400 студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов; б) не менее 180 студентов; в) от 150 до 250 студентов.
8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределения.

9. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,4; 0,5 и 0,7. X число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не менее трех попаданий в мишень.

Вариант – 3

1. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 различных занятия?
2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. Сколько существует способов по списку группы наудачу выбрать 9 студентов так, чтобы среди них было 5 отличников?
3. Из колоды в 36 карт вытаскивают наудачу 4 карты. Какова вероятность, что будут вытащены а) 3 дамы и 1 король; б) все карты пиковой масти; в) хотя бы 1 король?
4. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания мастера, равна 0,3; второй ‑ 0,6; третий ‑ 0,4; четвертый ‑ 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены 1) все станки потребуют внимания мастера; 2) только два станка потребуют внимания мастера; 3) хотя бы один станок не потребует внимания мастера; 4) один станок не потребует внимания мастера.
5. Два автомата производят пакеты для молока, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартного пакета на первом  автомате равна 0,03, на втором – 0,05. Производительность второго автомата втрое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что наудачу взятый пакет будет стандартным. 2) Известно, что наудачу взятый пакет оказался стандартным. На каком автомате вероятнее всего был произведен этот пакет молока?
6. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдёт не менее четырёх?
7. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн.рублей. Найти вероятности того, что среди 1800 банков уставный фонд свыше 100 млн.рублей имеют: а) 300 банков; б) не менее 300 банков; в) от 300до 400 включительно. 
8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределения. 

9.В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Х – число бракованных изделий из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих 3 изделий будет не менее 2 бракованных.

Вариант – 4

1. У одного школьника имеется 7 различных книг для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен одной книги на одну книгу?

2. Имеются три разных письма, которые нужно разослать по любым из шести различных адресов. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если никакие два письма не посылать по одному адресу?

3. Для проведения соревнования 10 команд, среди которых 4 лидера, путем жеребьевки распределяются на 2 группы по 5 команд в каждой. Какова вероятность того, что а) три лидера попадут в одну группу, а один лидер в другую; б) все четыре лидера попадут в одну группу; в) в обеих группах будет по два лидера.

4. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t 1) прибор выйдет из строя; 2) прибор не выйдет из строя; 3) два узла прибора выйдут из строя; 4) два узла прибора не выйдут из строя.

5. В магазин поступает минеральная вода в бутылках от двух производителей: местного и иногороднего, причем местный производитель поставляет 40% всей продукции. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, для местной продукции 0,5%, а для иногородней ‑ 2%. 1) Найти вероятность, того, что взятая наудачу бутылка окажется неразбитой. 2) Известно, что взятая наудачу бутылка оказалась целой. Каким из производителей вероятнее всего была изготовлена эта бутылка?      

6. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано хотя бы 2 пакета.  

7. Строительная фирма, занимающаяся  установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов будет: а) равно 48; б) не менее 50; в) находиться в границах от 45 до 55.

8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределения

9. Производится 2 независимых выстрела с вероятностями попадания в цель соответственно 0,6 и 0,5.   X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) построить ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность поражения цели.

Вариант -5

1. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

2. Сколько трехбуквенных слов можно образовать из букв слова «гипотенуза» (допускаются и слова, не имеющие в русском языке смысла)?

3. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает а) все вопросы; б) два вопроса; в) хотя бы один вопрос.

4. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) во всех справочниках; 3) только в двух справочниках; 4) хотя бы в одном справочнике; 5) не содержится ни в одном справочнике.

5. Магазин приобретает чай у двух фабрик, при этом первая из них поставляет  2/3  всего товара. Продукция высшего сорта для первой фабрики составляет 90%, а для второй 80%. 1) Найти вероятность того, что купленная наугад пачка чая будет высшего сорта. 2) Известно, что купленная пачка чая высшего сорта. На какой фабрике вероятнее всего была изготовлена эта пачка?

6. По данным технического контроля 2% изготовленных автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных станков не менее 4 нуждаются в дополнительной регулировке.

7. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неправильно равна 0,1. Найти вероятность того, что из 200 перфокарт, набитых оператором, неправильно набитых будет: а) 5; б) не более 5; в) не менее 5 и не более 10.

8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее  распределения

9. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной, равна 0,9. Х – число стандартных деталей среди четырех проверяемых. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих четырех деталей бракованных будет не менее трех.

Вариант – 6

1. Сколькими способами можно распределить15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных места?
2. Восемь человек должны сесть в два автомобиля,  причем в каждом должно быть, по крайней мере, три человека. Сколькими способами  они могут это сделать?          
3. 10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в три пакета так, чтобы в каждом пакете было по 7 каких-либо фруктов. Найти вероятности событий: а) в каждом пакете по одной груше; б) в случайно выбранном пакете нет груш; в) в случайно выбранном пакете 3 груши.  
4. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем ящиках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится 1) не более чем в двух ящиках; 2) в двух ящиках; 3) во всех ящиках; 4) деталь не содержится ни в одном ящике.
5. В некоторый район изделия поставляются тремя фирмами в отношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. 1) Найти вероятность того, что приобретенное изделие окажется стандартным. 2) Известно, что приобретенное изделие оказалось стандартным. На какой фирме вероятнее всего изготовлено это изделие?
6. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из пяти знаков содержит не более трёх искажений?
7. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 500 заключенных договоров страховая сумма будет выплачена: а) по 10 договорам; б) не более чем по 10 договорам; в)  от 10 до  20 договорам.
8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределение

9. Вероятность появления события А в одном испытании равна 2/3. X – число появлений события А в трех независимых испытаниях. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и муогоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность хотя бы двух появлений события А в трех испытаниях.

Вариант – 7

1. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников нужно выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?
2. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если любую из них в каждом числе использовать не более одного раза? (Число с нуля начинаться не может)
3. Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они: а) зайдут в один вагон; б) зайдут в  вагон №3; в) разместятся в разных вагонах?
4. Три стрелка произвели по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка ‑ 0,8; для второго ‑ 0,7; для третьего ‑ 0,6. Найти вероятность того, что  1) хотя бы один стрелок попадет в цель; 2) все стрелки попадут в цель; 3) два стрелка попадут в цель; 4) один стрелок попадет в цель.
5. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. 1) Найти вероятность того, что выбранная для проверки пара обуви отремонтирована качественно. 2)Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это а) сапоги; б) туфли?
6. В среднем 20% пакетов акций на аукционе продается по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано менее двух пакетов.
7. Отдел технического контроля проверяет изделия на брак. Вероятность того, что изделие бракованное равна 0,05. Найти вероятность того, что из 475 изделий бракованных будет: а) 5; б) не более 10; в) от 5до 10.
8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределения

9.Производится 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при каждом выстреле равны 3/4. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность двух попаданий в мишень.

Вариант – 8

1. Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, если в первый магазин нужно доставить 9, во второй – 4, а в третий – 3 вида товаров?

2. Из колоды в 36 карт вынимаются наудачу 5 карт. Сколько существует  способов того, что среди вынутых карт окажется 3 карты одной масти?

3. В ящике 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик наудачу достает 8 деталей. Найти вероятность того, что среди них а) нет дефектных; б) 3 дефектных; в) хотя бы одна годная.

4. Четыре стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,45; для второго ‑ 0,5; для третьего ‑ 0,6; для четвертого ‑ 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех четырех стрелков по мишени будет 1) хотя бы одна пробоина. 2) четыре пробоины;  3) одна пробоина; 4) не будет ни одной пробоины. 

5. Радиолампа может принадлежать к одной из 3 партий соответственно с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1 – для первой, 0,2 – для второй, 0,4 – для третьей. 1) Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. 2) Известно, что лампа проработала заданное число часов. Какой  партии она вероятнее всего принадлежит?

6. Производится залп из шести орудий по некоторому объёкту. Вероятность попадания в объект для каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

7. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 300 автомобилей имеют некомплектность а) 10; б) не более 10; в) от 10 до 15автомобилей.

8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по  заданному закону ее распределения

9. Х – число выпадений шестерки при четырех подбрасываниях  игральной кости.  Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность невыпадения шестерки при четырех подбрасываниях кости.

Вариант – 9

1. У одного школьника имеется 7 различных книг для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен двух книг на две книги?
2. На вершину горы ведут пять тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее, если подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам?
3. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши выпали на 20 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Найти вероятности того, что а) выиграют все 5 билетов; б) выиграет хотя бы один билет; в) выиграют два билета.
4. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок остановится, равна 0,3; второй ­ 0,4; третий ‑ 0,7; четвертый ‑ 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа 1) все станки остановятся; 2) все станки будут работать; 3) будет работать два станка; 4) хотя бы один станок будет работать без остановок.          
5. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: 1 класс – малый риск, 2 класс – средний, 3 класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% ‑ первого класса риска, 30% ‑ второго и 20% ‑ третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. 1) Найти вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования. 2) Известно, что застрахованный получил денежное вознаграждение. К какой группе риска вероятнее всего относится застрахованный?      
6. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы менее двух договоров.
7. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют домашних животных. Найти вероятность того, что из 400 семей домашних животных имеют: а)  300 семей; б) не менее 300; в) от 250 до 350 семей.
8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону ее распределения.

9.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. X – число стандартных изделий среди четырех проверенных. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не менее трех бракованных изделий среди этих четырех.

Вариант – 10

1. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них трех гостей? 
2. В соревновании участвует 8 команд. Сколькими способами могут быть присуждены 3 командам золотая, серебряная и бронзовая медали?
3. Из 10 проданных за день холодильников 4 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 5 холодильников а) не будет холодильников со скрытыми дефектами; б) два холодильника будут иметь дефект; в) хотя бы один холодильник будет иметь дефект.
4. Вероятность выполнить месячный план по заготовке молока у одного
   совхоза равна 0,95, а у другого совхоза ‑ 0,97. Какова вероятность того,
   что месячный план будет выполнен 1) обоими совхозами; 2) одним совхозом; 3) хотя бы одним совхозом; 4) план не будет выполнен ни одним совхозом?
5. Пассажир может обратиться за покупкой билета в одну из 3 касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, для первой кассы равна 0,4, для второй – 0,5 и для третьей – 0,6. 1) Найти вероятность того, что пассажир купил билет. 2) Пассажир направился за билетом в одну из касс и купил билет. В какой кассе он вероятнее всего приобрел билет?
6. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течении года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течении года прекратят свою деятельность?
7. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из 50 посеянных семян взойдут а) 40 семян; б) не менее 40 семян; в) от 40 до 45 семян?
8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины  X по заданному закону ее распределения.

9. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что не будет выпущено ни одной бракованной детали, равна 0,98. Х – число стандартных деталей среди трех проверенных. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения, построить график функции распределения и многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих трех деталей будет хотя бы две бракованных.

12. На основе совокупности данных опыта:

а) составить интервальный статистический ряд распределения с помощью формулы Стерджеса;

б) построить полигоны частот и относительных частот (В качестве вариант принять середины соответствующих частичных интервалов интервального статистического ряда)

в) построить гистограммы частот и относительных частот, кумулятивную кривую;

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: моду; медиану;  выборочную среднюю;  выборочное среднее квадратическое отклонение;  коэффициент вариации; доверительные интервалы для истинного значения измеряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

д) проверить согласованность эмпирического распределения с нормальным теоретическим, применяя критерий Пирсона и критерий Колмогорова.

13. На основе опытных данных

а) построить диаграмму рассеяния.

б) вычислить выборочный коэффициент корреляции.

в) проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции.

г) составить уравнения прямой линии регрессии .

д) построить уравнение прямой линии регрессии (на том же графике, что и диаграмму рассеяния).

е) сделать вывод о соответствии эмпирических данных построенным уравнениям.