Контрольные задания

1. Партия из 20 изделий содержит четыре бракованных. Найдите вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных изделий окажется 3 бракованных.

2. Для успешной сдачи экзамена необходимо ответить хотя бы на один из двух предложенных теоретических вопросов и решить задачу. Вероятность того, что студент правильно ответит на теоретический вопрос, равна 0,8, решит задачу 0,95. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен.

3. В городе 4 коммерческих банка, оценки надёжности которых равны 0,85, 0,8, 0,95, 0,9 соответственно. Найдите вероятность того, что в течение некоторого промежутка времени обанкротится хотя бы один.

4. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,6 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?

5. На ферме имеется три транспортёра. Вероятности того, что они выдержат гарантийный срок службы, соответственно, равны 0,77; 0,92; 0,8. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный транспортёр выдержит гарантийный срок.

6. У сборщика имеется 18 деталей, изготовленных первым заводом и 22 детали, изготовленные вторым заводом. Вероятность того, что деталь первого завода стандартная, равна 0,92; для второго завода эта вероятность 0,8. Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Каким заводом вероятнее всего изготовлена эта деталь?

7. Вероятность того, что клиент банка вернёт заём в период экономического роста, равна 0,96, а в период экономического кризиса 0,82. Предположим, что вероятность того, что начнётся период экономического роста, равна 0,68. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернёт полученный кредит?

8. В одной урне 2 белых и 8 чёрных шаров, а в другой – 3 белых и 9 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают три шара. Найдите вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны белые.

9. Два автомата производят одинаковые детали, которые по- ступают на общий конвейер. Производительность второго автомата вдвое больше производительности первого. Первый автомат производит в среднем 85% деталей отличного качества. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, равна 0,8. Сколько деталей отличного качества в среднем производит второй автомат?

10. Однотипные приборы выпускаются 3 заводами в отношении 3:4:5, причём вероятности брака для этих заводов соответственно равны 0,04, 0,05, 0,03. Приобретённый прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен 3-м заводом?

11. При установившемся технологическом процессе автомат производит 0,75 числа деталей первого сорта и 0,25 – второго. Установите, что является более вероятным – получить 3 первосортных детали среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортных среди 6 наудачу отобранных.

12. Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 90% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных изделий будет не менее 4 первого сорта?

13. При данном технологическом процессе 80% всей продукции оказывается продукцией высшего сорта. Определите наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 200 изделий и его вероятность.

14. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число нестандартных деталей в ней было равно 50?

15. По данным выборочного обследования на 100 домохозяйств приходится 56 легковых автомобилей. Найдите вероятность того, что 500 домохозяйств имеет 300 легковых автомобилей.

16. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдет не менее 75 и не более 95?

17. На склад поступает продукция с 3 фабрик, доля которых составляет соответственно 20%, 45%, 35%. В продукции первой фабрики 70% изделий высшего сорта, второй – 60%, третьей – 80%. Найдите вероятность того, что среди 300 наудачу взятых изделий число изделий высшего сорта заключено между 180 и 220.

18. В результате проверки качества приготовленного для посева зерна было установлено, что 80% семян всхожие. Определите вероятность того, что среди отобранных и высаженных 100 зерен прорастет не менее 75.

19. Вероятность появления события в каждом из 500 независимых испытаний равна 0,85. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

20. При обработке некоторой детали наблюдается в среднем 6% нарушений норм её установленных размеров. Установите не- обходимое количество деталей, подлежащих обработке, чтобы ожидать с вероятностью 0,95 отклонение частоты появления неточных деталей от вероятности этого события не более, чем на 0,03.

В задачах 21 – 22 найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, постройте график функции распределения вероятностей этой случайной величины.

21.  

22.  

23. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,7, для второго 0,8. Найдите ряд распределения и математическое ожидание случайной величины Х – общего числа попаданий.

24. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,8, второго 0,8, третьего 0,7. Найдите ряд распределения и математическое ожидание случайной величины Х – числа экзаменов, которые студент не сдаст.

25. Найдите закон распределения случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х₁ – с вероятностью р₁=0,8 и х₂ (х₁<х₂), если известно, что М(Х)=1,7 и D(X)=0,36.

26. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью

Найдите коэффициент   а и функцию распределения вероят- ностей F(x).

27. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью

Найдите коэффициент а и математическое ожидание М(Х).

28. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью

Найдите коэффициент а и вероятность попадания в интервал (0; p/3).

29. Найдите  дисперсию  случайной  величины  Х, которая задана интегральной функцией F(x):

30. Случайная величина   Х задана функцией распределения вероятностей

Найдите плотность распределения случайной величины, ее математическое ожидание и вероятность попадания в промежу- ток (3; 6).

По данным задач 21-30 необходимо:

1. Начертить графики полигона и гистограммы.

2. Вычислить среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

3. Вычислить моду и медиану

4. По найденным характеристикам сделать вывод о близости формы эмпирического ряда распределения нормальному.

5. Построить нормальную кривую по опытным данным на графике гистограммы.

6. Произвести оценку степени близости теоретического распределения (нормального) эмпирическому ряду с помощью критерия согласия Пирсона (уровень значимости a принять равным 0,05).

Задача 31.

Распределение затрат на 100 руб. продукции по предприяти- ям хлопчатобумажной промышленности.

Задача 32.

Распределение объема товарной продукции на 1 кв.м производственной площади (в млн. руб.)

Задача 33.

Распределение объема основных фондов (млрд. руб.) предприятий трикотажной промышленности.

Задача 34.

Распределение оплаты труда на одном из малых предприятий за месяц.

Задача 35.

Распределение производственных площадей (тыс. м²) предприятий текстильной промышленности.

Задача 36.

Распределение средних удоев молока в фермерском хозяйстве (литров) от одной коровы за день.

Задача 37. Распределение средней урожайности (ц/га) в фермерских хозяйствах области.

Задача 38

Распределение декадной выручки от реализации (млн.руб.) в коммерческих торговых палатках микрорайона.

Задача 39. Распределение индекса цен по группе продовольственных товаров (%)

Задача 40. Распределение длины резьбы на муфте вентилей (в мм).

Задача 41.  Среднее значение дальности,  полученное по i² независимым испытаниям равно  Среднее квадратическое отклонение  измерительного  прибора  s = (42 + i) м.  В предположении о нормальном распределении определите доверительную вероятность того, что точность оценивания будет равна ∆=(33-3×i) м. Принять i=3.

Задача 42. Решить задачу 41  при i=4.

Задача 43. Решить задачу 41  при i=5.

Задача 44. Средняя продолжительность горения лампы в  выборке   из n=(20-i) ламп оказалась равной  В предположении о нормальном распределении с надежностью γ найти доверительный интервал для средней продолжительности горе-ния  ламп всей партии, если среднее квадратическое отклонение продолжительности горения s = (28 + i) ч. Принять i=6 и γ =0,907.

Задача 45. Задачу 44 решить при i=4 и γ =0,992.

Задача 46. Задачу 44 решить при i=2 и γ =0,966.

Задача 47. На основании n=(8+i) испытаний установлено, что в среднем для изготовления полупроводникового диода требуется ~x = (44 + 2i)сек. ,  «исправленное» среднее квадратическое  отклонение  Sˆ   =(3+i) сек. Предположив,  что  время  изготовления диода есть нормальная случайная величина, определите с надежностью γ доверительный интервал для оценки среднего времени изготов- ления одного диода. Принять i =1, γ =0,9.

Задача 48. Задачу 47 решить при i=3 и γ =0,95.

Задача 49. Задачу 47 решить при i=5 и γ =0,99.

Задача 50. Задачу 47 решить при i=8 и γ = 0,98.

Задача 51. По результатам  n=(7+3i)  измерений  температуры в печи найдено  ~x = 2460 C . Предполагается,  что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с s = (6 + i)0 С . Проверьте на уровне значимости гипотезу Н₀: a=250⁰ С против конкурирующей гипотезы Н₁: a=240⁰ С. Принять i=0 и =0,05.

Задача 52. Задачу 51 решить при i=3 и =0,025.

Задача 53. Задачу 51 решить при i=6 и =0,03.

Задача 54. На контрольных испытаниях  n=(20-2i) ламп было определено ~x = 296ч. Считая,   что срок службы ламп распределен нормально с s = (12 + 2i)ч , проверьте на уровне значимости нулевую гипотезу Н₀: a=290ч против конкурирующей гипотезы Н₁: a=300ч. Принять i=0 и =0,035.

Задача 55. Решить задачу 54 при i=1 и  =0,06.

Задачу 56. Решить задачу 54 при i=2 и  =0,01.

Задачу 57. Решить задачу 54 при i=3 и  =0,02.

Задача 58. По данным задачи 54 проверьте на уровне значимости =0,01 нулевую гипотезу Н₀: a=290ч против конкурирующей гипотезы Н₁: a ¹ 290ч при i=1.

Задача 59. По данным задачи 54 проверьте на уровне значимости =0,08 гипотезу Н₀: a=295ч против конкурирующей гипотезы Н₁: a ¹ 295ч при i=0.

Задача 60. По данным задачи 54 проверьте на уровне значимости =0,15 гипотезу Н₀: a=300ч против конкурирующей гипотезы Н₁: a ¹ 300ч при i=4.

Теоретические вопросы

Теоретическая часть контрольной работы включает в себя два вопроса: по теории вероятностей и по математической статистике.

0 вариант

1. Выведите формулу для вычисления вероятности появления хотя бы одного события.

2. Виды вариационных рядов и их графическое изображение.

1 вариант

1. Выведите формулы полной вероятности и Байеса.

2. Какие вы знаете средние величины, характеризующие вариационный ряд? Чему равны мода и медиана для нормального закона распределения?

2 вариант

1. Выведите формулу Бернулли.

2. Приведите примеры характеристик, выражающих изменчивость (вариацию) значений признака.

3 вариант

1. Виды случайных величин (приведите примеры). Способы задания случайной величины.

2. Центральные моменты вариационного ряда. Что вы можете сказать о центральном моменте 2-го порядка?

4 вариант

1. Виды числовых характеристик случайной величины и их смысл.

2. Дайте понятие статистической оценки параметров генеральной совокупности. Какие виды оценок вы знаете?

5 вариант

1. Сформулируйте свойства интегральной и дифференциальной функций распределения случайной величины.

2. Какими свойствами должна обладать оценка, чтобы её можно было считать “хорошим” приближением к неизвестному генеральному параметру.

6 вариант

1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания.

2. Какую величину можно принять в качестве несмещённой оценки генеральной дисперсии?

7 вариант

1. Сколько значений (в процентах) находится в промежутке (a - s ; a + s ) для нормальной случайной величины.

2. Дайте определение доверительного интервала для оценки параметров генеральной совокупности.

8 вариант

1. Правило 3-х сигм и его практическое применение.

2. Статистическая гипотеза, суть проверки статистической гипотезы.

9 вариант

1. Предельные теоремы теории вероятностей.

2. Какую задачу решают с помощью критерия Пирсона?