Контрольная работа состоит из 6 заданий, в каждом из которых 10 вариантов.

Варианты заданий соответствуют последней цифре номера зачетной книжки студента.

Задание 1. Определение вероятности, ее свойства.  Классификация событий.

Задачи:

1. Из колоды в 36 карт наудачу одна за другой извлекают две карты. Найти вероятность того, что ими окажутся: а) две дамы; б) туз и дама; в) две карты трефовой масти?

2. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

3. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

4. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей: а) у двух размеры диаметра не соответствуют заданному допуску; б) хотя бы у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску

5. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

6. Задача. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

7. Предприятие имеет проблемы с поставками сырья. Вероятность того, что в каждом отдельном месяце предприятие будет полностью обеспечено сырьем, равна 0,9. Какова вероятность того, что за полугодовой период предприятие будет полностью обеспечено сырьем: 

а) ровно в трех месяцах?

б) не менее чем в двух месяцах?

8. В работе телефонной станции происходят в среднем 3 сбоя в час. Определить вероятность пяти сбоев за 2 часа.

9. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найдите вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет 15 ошибок.

10. В честь национального праздника состоялся массовый забег на дистанцию 10 км. В забеге приняли участие 250 человек. Обычно в забегах такого типа из каждых десяти участников 8 доходят до финиша. Какова вероятность того, что до финиша дойдут от 180 до 220 человек?

Задание 2. Вычисление вероятности события с использованием формул комбинаторики.

1. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 4 из 15 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке?

2. Сколько существует способов составления в случайном  порядке списка из 5 кандидатов для выбора на руководящую должность?

3. Руководством риэлтерской фирмы принято решение о необходимости рекламы нового вида услуг. По расчетам отдела рекламы, выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 7 из 12 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для размещения рекламы?

4. Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 7 человек, подавших заявления о приеме на работу на должность бухгалтера. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке?

5. Сколько существует способов между десятью соревнующимися спортсменами распределить 1, 2, 3 места?

6. 8 шахматистов, среди которых 3 гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две подгруппы по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну подгруппу?

7. Сколько существует способов из цифр 2, 4, 9, 3, 1, 8, 5 составить 4- значных чисел (без    повторения цифр), меньших 5000?

8. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 2 белых и 3 черных шара?

9. Есть 5 баскетбольных корзин и 3 мяча. Сколько существует способов попасть мячами в корзины?

10. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 3 шара одного цвета?

Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли

1. Руководство компании выяснило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершают курс обучения. В дальнейшем из них 60% активно применяют в работе полученные знания. Среди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение новые информационные технологии успешно применяют лишь 10%. Если случайно выбранный сотрудник компании активно применяет новые информационные технологии, то какова вероятность того, что он успешно прошел стажировку?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,85, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,4. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0,6, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

3. Компьютерная фирма разработала программу автоматизации учета в кафе и ресторанах. Рекламные материалы были разосланы в крупнейшие кафе и рестораны города, которые составляют 70% от общего числа предприятий питания города. Закупили программу 40% кафе и ресторанов, которые получили рекламные материалы и 15% не получавших ее. Какова вероятность того, что случайно выбранное кафе, заказало новую программу автоматизации учета?

4. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,65. Найти вероятность попадания в цель только одного из орудий;

5. В семье трое детей. Какова вероятность того, что:

a) Все они мальчики.

b) Один мальчик и две девочки.

Считать вероятность рождения мальчика равной 0,51.

6. Из урны, содержащей один белый и три черных шара, переложен один шар в урну с тремя белыми и одним черным шаром, после чего из второй урны вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался белым?

7. В полном наборе костей домино одну из костей заменили дублем, после чего кости тщательно перемешали. Известно, что взятая после этого кость домино оказалась дублем. Какова вероятность того, что и замененная кость была дублем?

8. Бросаются пять правильных монет. Какова вероятность того, что выпало более одного герба?

9. Через ОТК проходит 70% всех выпускаемых заводом изделий. Какова вероятность того, что среди 200 случайным образом отобранных изделий окажется от 60 до 70 непроверенных ОТК?

10. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, 1й изготовил 35%, 2й - 40%, третий – всю остальную подукцию. Брак в их продукции: у 1го - 2%, у 2го - 3%. У 3го - 4%. Выбранная случайно деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.

Задание 4. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

1. Монета бросается  раза. Построить многоугольник распределения с.в. Х – числа выпадений герба.

2. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Найти и построить функцию распределения  с.в. Х – числа попаданий в мишень.

Для следующих задач: а) составьте закон распределения ДСВ Х; б) найдите все числовые характеристики этой ДСВ.

3. В магазин вошли четыре покупателя. Вероятность сделать покупку для каждого из вошедших в магазин равна 0,3. Случайная величина Х- число покупок.

4. В мастерской ремонтируют пять машин. Вероятность того, что любая из машин отремонтирована, равна 0,2. Случайная величина Х – число отремонтированных машин.

5. Для участия в олимпиаде по программированию в колледже были отобраны три юноши и три девушки. Три победителя будут участвовать в зональной олимпиаде. Пусть Х – число девушек среди финалистов.

6. Кандидат на выборах в губернаторы считает, что 20% избирателей этого региона поддерживают его избирательную платформу. Для участия в теледебатах были приглашены четыре избирателя из общего числа избирателей этой губернии. Случайная величина Х – число избирателей, поддерживающих данного кандидата.

7. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов в одном опыте.

8.Подбрасывают 2 игральных кубика, подсчитывают число очков. Найти закон распределения дсв Х – суммы выпавших очков на двух игральных кубиках.

9. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из коробки наугад извлекают 3 карандаша. Найти закон распределения сл. величины Х, равной числу красных карандашей в выборке.

10.ДСВ Х имеет закон распределения:

Найти х . Построить многоугольник распределения.

Задание 5. Статистическое распределение выборки. Функция распределения.

1. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х

Чему равно значение вероятности p5?

а) 0,1;

б) 0;

в) 0,09.

Найти математическое ожидание св х

2. Пусть X - случайная величина с функцией распределения:

Чему равна мода случайной величины Х?

а) 2;

б) 4;

в) 6.

3. Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы

Чему равно математическое ожидание СВ Х?

а) 2,9;

б) 3,5;

в) 4.

4. СВ Х задана таблично

Чему равно математическое ожидание величины M[Х2 + 1]?

а) 11,1;

б) 21;

в) 22,1.

5. Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы

Чему равна дисперсия СВ Х?

а) 2,8;

б) 1,96;

в) 1,51.

6. Чему равно значение неизвестного параметра а функции плотности

а) 1/2;

б) 1/4;

в) 1/8.+

7. Пусть X - случайная величина с функцией распределения:

Чему равна вероятность P{ X ≥ 1/2 }?

а) 11/12;

б) 1/12;

в) 5/6.

8. Как записывается эмпирическая функция распределения для выборочной случайной величины, заданной в виде статистического ряда? Найти дисперсию.

9. Статистическое распределение выборки имеет вид

Найти дисперсию.

10.Как записывается эмпирическая функция распределения для выборочной случайной величины, заданной в виде статистического ряда? Найти дисперсию

Задание 6. Математическая статистика.  Числовые характеристики статистического распределения

1. Медиана вариационного ряда 11, 13, 13, 14, 15, x₆, 18, 19, 21, 24, 25, 25 равна 17. Тогда значение варианты x₆ равно:

 1) 16; 2) 17; 3) 18; 4) 15.

Найти моду и размах варьирования.

2. Размах варьирования вариационного ряда 3, 4, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 14 равен:

1) 11;      2) 4;       3) 9;     4) 17.

Найти моду и медиану.

3. Постройте полигон распределения частот по данным таблицы

4. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую и  среднее квадратическое для данных о дневной выручке в магазине электроники:

5. Менеджер универсама в течение января регистрировал частоту покупок стограммовых пакетиков с содой и собрал следующие данные (x_i): 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6, 5, 7, 3, 2, 9, 8, 1, 4, 6, 5, 4, 2, 1, 8.

Постройте вариационный ряд, определите его  числовые характеристики (мода, размах вариации, медиана).

6. Число пассажиров компании «Аэрофлот - Дон» рейса Ростов – Стамбул в мае текущего года составило: 125, 130, 121, 124, 128, 136, 125, 130, 124, 128, 125, 125, 130, 128, 125, 128.

Составьте вариационный ряд. Чему равно среднее число пассажиров в рейсе? Определите его  числовые характеристики (мода, размах вариации, медиана).

7. Медиана вариационного ряда 2, 3, 5, 6, 7, 9, x₇, 12, 13, 15, 16, 18 равна 10. Тогда значение варианты x₇ равно:

1) 11;    2) 10;    3) 12;    4) 9.

Найти моду и размах варьирования.

8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 114, полигон частот которой имеет вид:

Найти  число вариант x_i=12 в выборке. Постройте статистический ряд, определите его  числовые характеристики (мода, размах вариации, медиана).

9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=75, полигон частот которой имеет вид

Найти  число  вариант x_i=7 в выборке. Постройте статистический ряд, определите его  числовые характеристики (мода, размах вариации, медиана).

10. Найти медиану вариационного ряда 5,7,9,12,12,15,16,17,18,19,21. Определить моду и размах вариации.