Контрольная работа №1

Дифференциальное и интегральное исчисления. Дифференциальные уравнения

Контрольная работа № 2

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Вариант 1.

1. Первый стрелок поражает данную мишень с вероятностью 0,8, второй – с вероятностью 0,9. Они делают по два выстрела. Какова вероятность, что будет не менее двух попаданий?

2. Всхожесть семян составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) из 6 семян всхожими окажутся более чем 3; б) из 5 семян всхожими окажутся 2.

3. Вероятность того, что в течение недели прибор для определения распадаемости таблеток выйдет из строя, равна 0,5. Составить закон распределения числа его поломок за 5 недель. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<1,5), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Цена некой ценной бумаги нормально распределена с математическим ожиданием 98 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 12 ден. ед. Найти: а) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятность 0,87 попадет цена ценной бумаги; б) вероятность того, что цена ценной бумаги будет от 83 до 96 ден. ед.

6. Станок-автомат изготавливает таблетки. Для контроля произвели взвешивание 30 таблеток:

Необходимо построить вариационный ряд массы таблеток, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=15; б) D=30.

__________________________________________________________________

Вариант 2.

1. В ящике находятся 6 белых и 3 черных шара. Два игрока последовательно достают по одному шару. Игра продолжается до тех пор, пока один из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру. Шары назад не возвращаются.

2. Вероятность того, что электрокардиограф потребует ремонта в течение гарантийного срока 0,1. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) из 6 купленных приборов ремонта потребуют не более 2; б) из 5 купленных приборов 3 потребуют ремонта.

3. Для первого стрелка вероятность поражения цели равна 0,9, для второго – 0,95, для третьего – 0,8. Они делают по одному выстрелу. Составить закон распределения числа попаданий. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<0,5), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,9 мм и математическим ожиданием 0. Найти: а) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятность 0,9 попадет ошибка измерения; б) вероятность того, что ошибка попадет в интервал (83; 96).

6. Провели измерения размеров 30 плодов некоторого растения:

Необходимо построить вариационный ряд размера плодов, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=20; б) D=50.

__________________________________________________________________

Вариант 3.

1. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. У них по три патрона. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,6. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

2. В ящике находятся 10 синих шаров и 10 красных. Из ящика вынимаются 6 шаров (вынутый шар возвращается обратно). Найти вероятность того, что: а) красных шаров будет меньше четырех; б) все шары красные.

3. Вероятность поражения вирусным заболевание куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности, , . Построить графики F(x) и f(x).

5. Высота данного лекарственного растения имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 20 см и средним квадратичным отклонением 5 см. Найти: а) долю растений, высота которых попадает в интервал (15; 20);
б) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который попадает 80% всех растений.

6. Провели измерения высоты 30 штук некоторого лекарственного растения:

Необходимо построить вариационный ряд высот, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=10; б) D=60.

__________________________________________________________________

Вариант 4.

1. В коллекции нумизмата имеются 5 монет по 20 копеек, 6 монет по 15 копеек и 7 монет по 5 копеек. Наугад берутся три монеты. Какова вероятность, что в сумме они составят не более 50 копеек?

2. Предполагается, что 10% открывающихся малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Найти вероятность того, что: а) из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность; б) из 7 малых предприятий только 3 в течение года прекратят свою деятельность.

3. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<3), . Построить графики F(x) и f(x).

5. При изготовлении таблеток их масса распределена по нормальному закону с математическим ожидание 0,5 г и средним квадратическим отклонением 0,01 г. Найти: а) интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна 0,93; б) вероятность того, что масса данной таблетки окажется в интервале (0,495 ; 0,505).

6. Станок прессует таблетки. Измерили диаметр 30 таблеток:

Необходимо построить вариационный ряд диаметров, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=30; б) D=60.

__________________________________________________________________

Вариант 5.

1. В лотерее имеется 100 билетов, из которых 30 выигрышных. Какова вероятность, что выиграют только два билета из трех взятых.

2. В среднем в 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) для трех договоров; б) менее чем для двух договоров.

3. Контрольный тест состоит из пяти вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<1), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Станок прессует таблетки со средним диаметром 9 мм. Полагая, что диаметр распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,2 мм, найти: а) в какой интервал диаметров, симметричный относительно математического ожидания, укладываются 99% таблеток; б) какой процент таблеток имеет диаметр в пределах от 9,2 до 9,4 мм.

6. Для изучения урожайности лекарственного растения поляна разбита на 30 учетных площадок по 1 . Подсчитали количество растений на каждом из участков:

Необходимо построить вариационный ряд количества растений на 1 , полигон частот; найти среднюю, выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=30; б) D=40.

__________________________________________________________________

Вариант 6.

1. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании двух игральных костей сумму очков, превосходящую 9. Найти вероятности: а) выпадения 9 очков; б) выигрыша.

2. Известно, что в среднем 60% всего числа изготавливаемых заводом телефонных аппаратов являются продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии из 10 аппаратов окажется: а) 6 аппаратов первого сорта; б) хотя бы один аппарат первого сорта?

3. В билете 4 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<1), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Распределение массы плодов некоторого растения достаточно хорошо описывается нормальным законом. Математическое ожидание массы одного плода 97 г. Среднее квадратическое отклонение 20 г. Найти: а) в какой интервал, симметричный относительно математического ожидания, попадает 84% плодов; б) какой процент плодов имеет массу в пределах от 90 до 99 мм.

6. Станок-автомат изготавливает таблетки. Для контроля произвели взвешивание 30 таблеток:

Необходимо построить вариационный ряд массы таблеток, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=30; б) D=70.

__________________________________________________________________

Вариант 7.

1. Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках.

2. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех автомобилей.

3. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<0,25), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Распределение размера плодов некоторого растения достаточно хорошо описывается нормальным законом. Математическое ожидание размера одного плода 5 см. Среднее квадратическое отклонение 2 см. Найти: а) в какой интервал, симметричный относительно математического ожидания, попадает 70% плодов; б) какой процент плодов имеет размер в пределах от 4 до 7 см.

6. Провели измерения размеров 30 плодов некоторого растения:

Необходимо построить вариационный ряд размера плодов, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=20; б) D=60.

__________________________________________________________________

Вариант 8.

1. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) только по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.

2. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность того, что а) все орудия попадут в объект; б) будет не менее 4 попаданий.

3. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6 и 0,7. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<1), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически со средней массой 540 г. Полагая, что средняя масса коробок распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 30 г, Найти: а) в какой интервал, симметричный относительно математического ожидания, укладываются 88% коробок;  б) какой процент коробок имеет массу в пределах от 500 до 540 г.

6. Провели измерения высоты 30 штук некоторого лекарственного растения:

Необходимо построить вариационный ряд высот, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=20; б) D=30.

__________________________________________________________________

Вариант 9.

1. В ящике произвольно лежат одинаковые авторучки двух цветов: 35 красных и 65 синих. Наугад достают 5 авторучек. Какова вероятность того, что красных авторучек будет больше, чем синих.

2. Вероятность банкротства малого предприятия за некоторый промежуток времени t равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий за время  t сохранятся: а) два; б) более двух.

3. Экзаменатор задает студенту вопросы. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна . Составить закон распределения числа заданных вопросов. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<0,5), . Построить графики F(x) и f(x).

5. При расфасовке некоторой продукции масса пакетов распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 900 г и средним квадратическим отклонением 20 г. Найти: а) в какой интервал масс, симметричный относительно математического ожидания, попадает 77% пакетов; б) какой процент пакетов имеет массу в пределах от 840 до 890 г.

6. Станок прессует таблетки. Измерили диаметр 30 таблеток:

Необходимо построить вариационный ряд диаметров, полигон частот, найти выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=20; б) D=40.

__________________________________________________________________

Вариант 0.

1. В ящике находятся разноцветные шары: 3 синих, 4 красных и 5 зеленых. Случайным образом достают три шара. Найти вероятность того, что они окажутся одного цвета. Шары назад не возвращаются.

2. Вероятность заболеть гриппом в данной местности равна 0,2. Найти вероятность того, что: а) из 5 человек заболеет 4; б) из 8 человек заболеет не менее двух.

3. В коробке находятся 4 ампулы с новокаином, изготовленных на первом заводе, и 6, изготовленных на втором. Из коробки достаются ампулы до тех пор, пока не будет вынута ампула, изготовленная на втором заводе. Составить закон распределения числа вынутых ампул. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и моду данной случайной величины.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание M(X); дисперсию D(X); вероятности P(X<0,3), . Построить графики F(x) и f(x).

5. Станок-автомат изготавливает таблетки, причем контролируется их вес Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 2 г и средним квадратическим отклонением 0,02 г, найти: а) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятность 0,83 будет заключен вес изготовленных таблеток; б) вероятность того, что вес таблеток окажется в интервале (1,99 г; 2,01 г).

6. Для изучения урожайности лекарственного растения поляна разбита на 30 учетных площадок по 1 м². Подсчитали количество растений на каждом из участков:

Необходимо построить вариационный ряд количества растений на 1 м², полигон частот; найти среднюю, выборочные дисперсию и среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95.

7. Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D с его концентрацией С) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора: а) D=10; б) D=23.