ПГТУ, аналитическая геометрия (индивидуальные задания)

Вариант 1

1. Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения его сторон.

2. Через точку пересечения прямых провести прямую, составляющую с осью ОХ угол 45°.

3. К какой из двух прямых:  точка М(-1;2) находится ближе?

4. Показать, что отрезки прямых   образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.

5. Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

6. Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости .

8. Написать канонические уравнения прямой:.

9. Найти точку пересечения прямой  с плоскостью  и угол между ними.

10. Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. При каком значении m прямая  будет перпендикулярна построенной прямой?

11. Проверить, лежит ли прямая  на плоскости .

Вариант 2

1. Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).

2. Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату прямой . Построить данную прямую.

3. Найти расстояние между параллельными прямыми .

4. Даны уравнения сторон треугольника:  . Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.

5. Плоскость a проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость b задана уравнением . Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

6. Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.

7. Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".

8. Написать канонические уравнения прямой:.

9. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А (1; -5; 3) и образует с осями координат ОХ и OY углы, соответственно равные  и 45^°, а с осью OZ – тупой угол.

10.  Показать, что прямые  взаимно перпендикулярны.

11.  При каком значении А плоскость будет параллельна прямой . При А = 4 найти угол между ними.

Вариант 3

1. В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6) и С (1;-5). Составить уравнения его сторон.

2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой  к оси OX равен 45° ?

3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую , и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОУ.

4. Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.

5. Плоскость a проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и С (5; 4; -2), плоскость b проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам . Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью .

7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и ОУ угол a = 150° и     b = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 ед. Указать особенность в расположении плоскости.

8. Написать канонические уравнения прямой:.

9. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).

10. При каких значениях В и n прямая  перпендикулярна плоскости ?

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-4; -7; 1) и параллельно прямой .

Вариант 4

1. В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.

2. Составить уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой .

3. Стороны треугольника выражаются уравнениями   . Найти уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.

4. Через начало координат провести прямые, образующие с прямой  углы, тангенсы которых равны .

5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки            М (0; 1; 3) и N (2; 4; 5), и построить её. Найти расстояние точки А (3; 2; -5) до построенной плоскости.

6. При каком значении l плоскости a и b будут перпендикулярны? Плоскость a проходит через точки К (-1; ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Плоскость b задана уравнением . При l = 3 найти острый угол между плоскостями a и b.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-2; 7; 3) параллельно плоскости . Полученное уравнение плоскости привести к нормальному виду.

8. Написать канонические уравнения прямой:.

9. Найти угол между прямыми  и .

10. Даны вершины четырехугольника: A (-4; -3; -2), B (2; -2; -3), C (-8; -5; 1), D (4; -3; -1). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

11.  Найти значение m, при котором прямая  параллельна плоскости . При m = -2 найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Вариант 5

1. Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС, и медианы, проведенной из вершины С.

2. Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой __.

3. Дана прямая __. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единиц.

4. Найти острый угол между прямой __ и прямой, проходящей через точки А (1; -1) и В (5; 7).

5. На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору __, на расстояние __.

6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки A (1; __; __), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ , а b - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3).

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору __, направляющие косинусы которого соответственно равны __. Проверить, будет ли искомая плоскость перпендикулярна плоскости __.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти угол между прямой __ и плоскостью __.

10. Найти проекцию точки М (-6; 5; 7) на прямую __.

11. Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

Вариант 6

1. Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2).Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А.

2. Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

3. Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой __, и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОХ .

4. Проверить, что прямые __ служат сторонами равнобедренного треугольника.

5. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы b = 60° и g = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние р от начала координат до неё равно 8 единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; __) до построенной плоскости.

6. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью a, проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью a и плоскостью XОY.

7. Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях __ является прямоугольным.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти точку пересечения прямой __с плоскостью __и угол между ними.

10.  Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 5; -1) и перпендикулярно прямой __.

11. Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD.

Вариант 7

1. Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

2. Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой.

3. Известны уравнения сторон треугольника: __ __ __. Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.

4. Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3; 4) и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD.

5. Две из граней куба расположены на плоскостях __. Найти его объем.

6. Найти угол между плоскостью __и плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -1) параллельно вектору __ ={0; -1; 2}.

7. Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (-4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположе­нии. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти угол прямой __ с плоскостью __.

10. При каком значении n прямые __ будут взаимно перпендикулярны?

11. Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; -1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.

Вариант 8

1. Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции.

2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой __ к оси ОX равен 30° ?

3. Через точку пересечения прямых __ проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат?

4. Определить острый угол, под которым пересекаются прямые АВ и СD, если А (2; 4),      В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2).

5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости __ и отстоящих от точки А (1; 2; 0) на расстоянии __.

6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью XOZ.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В (__ 0; 1) и С (__).

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости __с прямыми__. Определить направляющие косинусы прямой.

10. При каком значении m прямые __ будут взаимно перпендикулярны? При m = 1 найти угол между ними.

11. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую __.

Вариант 9

1. Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину.

2. Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду.

3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых__ и параллельную прямой __.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4; 1)и образующей угол __ с прямой __.

5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей __ до плоскости, проходящей через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору __.

6. Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1; 4) и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD.

7. Плоскость a проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает на осях координат равные отрезки. Плоскость b задана уравнением, __. При каком значении m плоскости a и b будут перпендикулярны?

8. Написать канонические уравнения прямой:__

9. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5). Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями AC и BD.

10. При каких значениях В и С прямая __ перпендикулярна плоскости __?

11. При каких значениях А и С прямая __ лежит в плоскости __?

Вариант 10

1. Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; __), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

2. Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

3. Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; -1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ?

4. Вычислить угол между прямыми __.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору __, где В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Указать особенности в расположении плоскости. Найти расстояние от точки D (6; -2; 13) до построенной плоскости.

6. При каком значении m угол между плоскостями a и b равен __? Плоскость a проходит через точки А (__), В (-3; 1; 1) и С (2; 4; -7), плоскость b задана уравнением __.

7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости ХОY.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий вектор __ прямой образует с координатными осями ОХ и OZ углы a = 120°, g = 45°, а с осью ОY - острый угол.

10. В плоскости XOZ найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямой__.

11. При каком значении С плоскость __ будет параллельна прямой __. При С = -2 найти угол между ними.

Вариант 11

1. Показать, что точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) и Q (-1; 0) являются вершинами трапеции. Найти уравнение высоты трапеции, её длину.

2. Найти угол наклона к оси ОХ .и начальную ординату прямой __.

3. Определить, какие из уравнений прямой являются нормальными:

4. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы __.

5. Найти такое число a, чтобы плоскость __ была параллельна плоскости __, и определить расстояние между ними.

6. Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью a и плоскостью XOZ.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно векторам __ ={0; 1; 2} и __= {-1; 0; l}.Указать особенность в расположении плоскости.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Дан треугольник с вершинами А(3; -2; 5), В(-1.2; 3) и С(5; 4; -3). Найти угол между медианами, проведенными из вершин А, С, и их длины.

10. Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость __.

11. Параллельны ли прямые __?

Вариант 12

1. Даны две вершины треугольника: А (-4; 3), B (4; -1) и точка пересечения высот М (3; 3). Найти третью вершину С.

2. Написать уравнение прямой, если длина нормали р = 2, а угол наклона её к оси ОХ равен 225°.

3. Показать, что прямые __ параллельны. Найти расстояние между ними. Построить указанные прямые.

4. Прямые АВ и СD пересекаются в точке М(4; 2; 5) под углом 45°. Написать уравнение прямой СD, если координаты точки А(0; 5).

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и равноудаленной от точек А (2; 7; 3) и 3 (-1; 1; 0).

6. Плоскость a проходит через проекции точки М (2; 1; 2) на оси координат, а плоскость b через точки А (1; 2; 3), B (-2; 0; -1) и С (0; 1; 2). Найти угол между плоскостями a и b.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору __={3; 0; 1} . Полученное уравнение привести к нормальному виду.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Даны две вершины треугольника: А (-4; -1; 2) и В (3; 5; -16). Найти третью вершину С и угол при вершине А, зная, что середина стороны АС лежит на оси ОY, а середина стороны ВС -на плоскости XOZ .

10. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую __.

11. При каких значениях В и D прямая __ лежит в плоскости __.

Вариант 13

1. Даны координаты середин сторон треугольника: А(1; 2), B(7; 4), С(3; -4). Составить уравнения сторон треугольника.

2. Дано уравнение прямой __. Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.

3. Найти расстояние от точки пересечения прямых, заданных уравнениями __ до прямой __.

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС известны вершина острого угла А(2; 6) и уравнение противолежащего катета __. Составить уравнения двух других сторон.

5. Найти расстояние от точки М (0; -1; 1) до плоскости, проходящей через точки А(1; 4; -5) и В(4; 2; -3) и перпендикулярной плоскости __.

6. Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки А(2; 1; 8), В(-1; 3; 4) и С(3; 0; 12).

7. Дана плоскость __. Найти углы её нормали с осями координат. Проверить, проходит ли плоскость через одну из следующих точек: А(1; -2; 1), В(3; 2; 4), С__, D__.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти точку пересечения прямой __ с плоскостью __ и угол между ними.

10. При каком значении m прямые __ будут взаимно перпендикулярны?

11. Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.

Вариант 14

1. Вершинами треугольника служат точки A(-8; 1), B(1; -2) и C(6; 3). Найти центр описанной около него окружности.

2. Через точку М (3; 2) провести прямую так, чтобы её отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.

3. Составить уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент __ и отстоящей от начала координат на расстояние __.

4. Две прямые, проходящие через начало координат, образуют собой угол __. Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно __. Составить уравнения этих прямых.

5. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости, проходящей через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), Р(4; 0; 0) и удаленных от неё на расстояние d = 4.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОX и составляющей угол 60° с плоскостью Y = X.

7. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору __ ={2; -1; 6}.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти острый угол между прямыми: __

10. Показать, что треугольник с вершинами в точках А(1; -2; 1), В(3; -3; -1) и С(4; 0; 3) прямоугольный. Найти его периметр.

11. Прямая проходит через точки А(3; -1; 0) и В(х; -7; 3) и параллельна плоскости __. Определить абсциссу точки В и направляющие косинусы построенной прямой.

Вариант 15

1. Даны последовательные вершины параллелограмма: А(0; 0), В(1; 3), С(7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что данный параллелограмм является прямоугольником.

2. При каком значении параметра а уравнения __ изображают параллельные прямые?

3. Через точку P(-2; 1) проведена прямая так, что её расстояние от точки С(3; 1) равно 4. Найти угловой коэффициент этой прямой.

4. Построить треугольник, стороны которого заданы уравнениями: __. Найти площадь треугольника.

5. Найти расстояние от точки М(2; 1; 1) до плоскости, проходящей через точку N(-1; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям __.

6. Через точку N(3; 9; -4) проведены две плоскости: одна из них содержит ось ОY, другая – OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

7. Плоскость проходит через точки А(3; 1; 1), В(-7; __; 0) и С(-1; 1; __). Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Треугольник АВС образован пересечением плоскости __ с координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости ХОY, и угол, который образует она с прямой __.

10. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой __.

11. При каких значениях m и n прямые __ будут параллельны?

Вариант 16

1. Даны вершины треугольника: А(-1; 6), В(-5; -2) и С(1; 0). Показать, что этот треугольник прямоугольный. Найти центр описанной около него окружности и её радиус.

2. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую __, а также координаты основания этого перпендикуляра.

3. Диагонали ромба длиной в 30 и 16 ед. приняты за оси координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых __ под углом в 45° к прямой __.

5. На оси ОУ найти точку, равноудаленную от точки A (2; 0; 1) и от плоскости, проходящей через точку В (1; 1; 1) перпендикулярно вектору __.

6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точку А (__) перпендикулярно оси OZ , a b - через точки В(2; -1; -1), С(-1; 0; 2) и D(0; -2; 0).

7. При каких значениях a, b, c плоскости __ будут взаимно перпендикулярными?

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки: А(3; 0; 1), В(0; 2; 4) и     С(1; __; 3).

10. При каком значении n прямые __ будут взаимно перпендикулярны? При n = -3 найти угол между ними.

11. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3; -1; -4), пересекающей ось ОY и параллельной плоскости __.

Вариант 17

1. Даны вершины четырехугольника: А(2; 4), B(-3; 7), С(-6; 6), D(-1; 3). Доказать, что данный четырехугольник - параллелограмм.

2. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b , чтобы прямые __ проходили через одну и ту же точку?

3. На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой __ на расстоянии 3 единиц.

4. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы __ и вершину прямого угла (4; -1).

5. Дан тетраэдр с вершинами: K(1; 1; 2), L(-1; 1; 3), М(2; -2; 4), N(-1; 0; -2). Найти длину высоты, проведенной из вершины N, и угол между гранями КLM и LМN.

6. Из точки Р(-1; 1; 4) опущен на плоскость перпендикуляр, основанием которого является точка Q(2; 1; 3). Составить уравнение плоскости в нормальном виде и указать особенности в её расположении.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости, проходящей через точку А(6; -1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а = -3, а на оси аппликат - отрезок с = 4.

8. Написать канонические уравнения прямой: __.

9. Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(4; 0; -10) и С(-2; 6; 8). Найти угол между медианой, проведенной из вершины А, и стороной ВС.

10. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми __.

11.   При каком значении р прямые __ будут параллельны?

Вариант 18

1. Три вершины параллелограмма имеют следующие координаты: А(-6; -4), B(-4; 8), С(-1; 5), причем А и С - противоположные вершины. Определить координаты четвертой вершины параллелограмма и уравнения его диагоналей.

2. Даны две точки: А(-3; 1) и B(3; -7). На оси ординат найти такую точку M, чтобы прямые AM и ВМ были перпендикулярны друг другу.

3. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой __.

4. Найти острый угол между прямой __ и прямой, проходящей через точки А(-3; 8), В(1; __). Построить указанные прямые.

5. Определить, при каких значениях m и n плоскости __ __ будут параллельны, и найти расстояние между ними.

6. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОУ и отсекающей на осях ОX и OZ отрезки, равные 2 и 3 ед. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью __.

7. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки: А(1; -1; 1),     В(0; 2; 4), С(1; 3; 3) и D(4; 0; -3).

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением __, другая проходит через точку А(1; 2; 3) и точку пересечения указанной прямой с плоскостью __.

10. Найти направление прямой, одновременно перпендикулярной к оси OZ и к прямой, проходящей через две точки: А(1; -1; 4) и В(-3; 2; 4).

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 1; 0) и через прямую __.

Вариант 19

1. Противоположные вершины ромба находятся в точках B(-2; 2) и D(0; -3). Составить уравнения диагоналей этого ромба.

2. При каком значении m прямые __ проходят через одну точку? Найти эту точку.

3. Через точку Р (5; 0) провести касательную к окружности __.

4. Через точку А (-3; -5) проходят прямые: АС, параллельная оси ОУ , и А В, образующая угол __с осью ОХ. Найти угол между указанными прямыми.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) и отсекающей равные отрезки на осях ОУ и OZ. Найти расстояние от точки С(5; -7; 8) до построенной плоскости.

6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точку А(5; -1; 3) параллельно плоскости YOZ, a b - через точки В(0; 1; 1), С(1; 0; -2), D(4; -2; -3).

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости __. Указать особенность в расположении плоскости.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти угол между прямой, лежащей в плоскости XOY и образующей с осью ОX угол 30°, и прямой, лежащей в плоскости XOZ и образующей с осью ОХ угол 60°.

10. Провести через точку пересечения плоскости __ с прямой __ прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

11.   Прямая проходит через точки А(х; 5; 9), В(2; у; 21) и параллельна прямой __. Определить абсциссу точки А, ординату точки В и направляющие косинусы прямой АВ.

Вариант 20

1. Даны вершин треугольника: А(4; -1), В(__) и С(__). Показать, что этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.

2. Составить уравнение прямой, параллельной прямой __ и отсекающей на положительной полуоси абсцисс отрезок, равный 4 единицам.

3. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых __.

4. Стороны треугольника выражаются уравнениями: __. Найти внутренние углы треугольника и его вершины.

5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей __ до плоскости, проходящей через точку __ параллельно плоскости __.

6. Найти угол между плоскостями a и b, где a. проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ , a b отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, __.

7. Принадлежат ли одной плоскости четыре точки: А(3; 1; 0), В (0; 7; 2), С(-1; 0; -5) и     D(4; 1; 5)?

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Треугольник образован пересечением плоскости __ с координатными плоскостями. Найти угол наклона медианы треугольника, проведенной из вершины, лежащей на оси ОZ, к плоскости ХОY.

10. Даны вершины треугольника: А(4; 1; -2), В(2; 0; 0) и С(-2; 3; -5). Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.

11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 5; 1) параллельно прямой __.

Вариант 21

1. Дан четырехугольник с вершинами: А(-2; -3), B(-1; 4), С(3; 3) и D(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

2. При каком значении параметра а прямые __ __ окажутся перпендикулярными?

3. Через начало координат и точку М (1; 3) проходят две параллельные прямые. Найти их уравнения, если известно, что расстояние между этими прямыми равно__.

4. Прямая АВ отсекает на положительных полуосях OX и OY отрезки, соответственно равные 8 и 12 ед. Прямая CD проходит через точку С (-2; 0) и отсекает на оси ОУ отрезок b = 3. Найти угол между прямыми.

5. Найти абсциссу точки А(х; 1; 8) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точки В(7; 2; 4), С(7; -1; -2) и D(-5; -2; -1), равно 3 ед.

6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки А(__) и B(__) параллельно оси OY, а b задана уравнением __.

7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и OZ углы a = g = 60°, а с осью ОУ - острый угол. Составить уравнение плоскости при условии, что она проходит через точку М (1; 1; -1). Проверить, будет ли искомая плоскость параллельна плоскости __.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9.  Найти отношение, в котором координатная плоскость ХОY делит отрезок между точками А(-1; -4; 4) и B(1; 2; -5). Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью ХОY и угол между ними.

10. Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D(3; 1; 4) есть квадрат.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую __ параллельно прямой __.

Вариант 22

1. Даны вершины треугольника: А(2; 1), В(-2; 3), С(0; 3).Найти уравнения медиан треугольника и их длины.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3)параллельно прямой __.

3. По какой линии должна двигаться точка, начальное положение которой определено координатами (3; 8), чтобы кратчайшим путем дойти до прямой __? В какой точке она достигнет этой прямой и как велик будет пройденный путь?

4. В параллелограмме АВСD известны уравнения сторон __ __ и точка С(7; 1). Найти углы, образованные диагональю АС со сторонами АВ и АD.

5. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси ОУ отрезок b = -3 и перпендикулярной к вектору __. Найти расстояние от точки А(-2; -4; 3) до построенной плоскости.

6. Через точку А(-2; 4; 8) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX , другая - OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

7. Плоскость a проходит через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1), С(2; -1; -2); плоскость b задана уравнением __. Определить абсциссу точки А так, чтобы плоскости были перпендикулярными.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Вершины треугольника находятся в точках А(1; -2; 8), В(0; 0; 4) и С(6; 2; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС, и определить внутренние углы треугольника.

10. Найти расстояние от точки М(1; 3; 5) до прямой, по которой пересекаются плоскости __.

11. Даны точки А(-3; -2; -3), В(-2; -5; -1), С(-4; a; b). При каких значениях a и b точка С лежит на прямой АВ? Найти направляющие косинусы прямой AВ.

Вариант 23

1. Даны две вершины: А(-6; -5) и В(2; 4) параллелограмма АВСD и точка М(3; 1) пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин С и D и уравнения сторон параллелограмма.

2. Через точку пересечения прямых __ провести прямую, параллельную прямой __.

3. Проверить, что прямые __ касаются одного и того же круга с центром в начале координат, и вычислить радиус этого круга.

4. Даны координаты вершин треугольника: А (-4; 0), В (5; -6), С (0; 6). Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.

5. На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3; 4) и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости __.

6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; -2) и N (2; 2; 2) и плоскостью УOZ .

7. Нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. Определить, при каком значении m плоскость a будет перпендикулярна плоскости b: __.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 ед.; концы этих отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол между плоскостью полученного треугольника и прямой, проходящей через точки А(0; 4; -2),    В (3; -1; 2).

10. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(-4; 3; -8) перпендикулярно двум прямым:__.

11. При каком значении n прямая __ параллельна плоскости __?

Вариант 24

1. Даны вершины четырехугольника А(-4; -2), В(-3; 1), С(4; 3), D(5; -3). Показать, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

2. Найти уравнения перпендикуляров к прямой __, восстановленных в точках пересечения её о осями координат.

3. Даны уравнения оснований трапеции: __. Найти её высоту.

4. Прямая задана уравнением __. Показать, что данное уравнение является нормальным и найти острый угол между указанной прямой и осью OX.

5. Найти расстояние от точки К (3; -2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; -4; 3) и N (-2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ.

6. Плоскость a проходит через точки А (0; 0; z), B (3; -2; 0), С (3; 0; 1). Плоскость b задана уравнением __. Определить аппликату точки А при условии, что угол между плоскостями a и b равен __.

7. Проверить, имеют ли общую тoчку следующие четыре плоскости: __.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями __. Найти эти углы.

10. Доказать, что треугольник АВС, где А(2; 3; -1), В(3; -1; 2), С(-1; 2; 3), равносторонний. Составить уравнения сторон треугольника и найти длину его высоты.

11. Доказать, что прямые __ параллельны и написать уравнения прямой, проходящей посередине между ними.

Вариант 25

1. Даны вершины А(-3; -2), В(4; -1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD // ВС ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершин D этой трапеции.

2. При каких значениях с площадь фигуры, ограниченной координатными осями и прямой __, равна 135 кв.единицам?

3. Даны стороны треугольника:__. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую её (считая от вершины А ) в отношении 1:3. Найти угол между построенной прямой и стороной АС, а также длину высоты, опущенной из вершины В.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 2) и образующей с осью ОХ угол, вдвое больше угла, который составляет с той же осью прямая __.

5. Найти аппликату точки M(2; 3; Z ) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точку А (-3; 3; __) перпендикулярно вектору __ равно 4 ед.

6. Определить, при каких значениях m и n плоскости __ будут параллельны. При __ найти угол между указанными плоскостями.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(10; -5; 2), B(16; 3; 11),        С(-11; -33; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образованные перпендикуляром, проведенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

8. Написать канонические уравнения прямой:__.

9. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением __ другая проходит через точки М(1; 0; 3) и N(5; -2; 7).

10. Провести через точку пересечения плоскости __ с прямой __прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярно к данной прямой.

11. Найти периметр треугольника, вершины которого находятся в точках А(8; 0; 6), В(8; -4; 6), С(6; -2; 5). Составить уравнения средней линии треугольника, параллельной стороне АС.

Вариант 26

1. Даны вершины треугольника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; -10). Показать, что этот треугольник прямоугольный и составить уравнение высоты, проведенной из вершины прямого угла.

2. Написать уравнение прямой, параллельной прямой __и отсекающей от первого координатного угла площадь, равную 5.

3. Основание равнобедренного треугольника имеет уравнение__. Одна из боковых сторон имеет уравнение __. Найти уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M(8; 9).

4. Сторона AB и DC параллелограмма заданы уравнениями __и __, диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти длину высоты параллелограмма из вершины B.

5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей__, __, __до плоскости, проходящей через точки M₁(1; 4; 2), M₂(2; 3; 1), M₃(1; 1; 2).

6. Плоскость α проходит через точку M₁(1; 3; 1) параллельно плоскости __. Плоскость β проходит через точку M₂(5; -1; 2) и содержит ось __. Найти угол между плоскостями α и β.

7. Плоскость α проходит через точку P(3; -1; 2) и отсекает на оси __отрезок вдвое больше, чем на оси __и втрое больше, чем на оси __. Плоскость β задана уравнением __. При каком m плоскости будут перпендикулярны?

8. Написать каноническое уравнения прямой __.

9. Найти расстояние от точки P(1; 3; 5) до прямой __.

10. Найти периметр треугольника с вершинами M₁(2; 4; 5), M₂(3; 8; 13), M₃(-1; 0; 5). Найти уравнение треугольника и угол между сторонами M₁M₂ и M₁M₃.

11. Через точку M₁(2; 3; 6) провести плоскость перпендикулярную прямой __.

Вариант 27

1. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).

2. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси __отрезок, величина которого равна 3, и наклоненной к оси __под углом 135º.

3. Вычислить тангенс острого угла между прямыми __, __.

4. На прямой __найти такую точку, у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние от найденной точки до прямой __.

5. Дан тетраэдр с вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; 1), D(4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(3; 5; 1) и M₂(4; 2; 3) и параллельной вектору __. Найти расстояние от точки P(5; -2; 4) до построенной плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), M₂(2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости __. Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.

8. Написать каноническое уравнения прямой __.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку B(3; 4; -4) параллельно прямой __. При каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой __.

10. Найти проекцию точки M(-1; -1; 0) на плоскость __.

11. При каких значениях A и B прямая __ лежит на плоскости __. При А=1, В=-2. Найти угол между прямой и плоскостью.

Вариант 28

1. Даны вершины треугольника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.

2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M₁(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).

3. Даны уравнения сторон треугольника __(АВ), __(ВС), __(АС). Найти угол между высотой, проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.

4. Дана прямая __. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.

5. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость β задана уравнением __. При каких m и n плоскости будут параллельны?

6. Плоскость α проходит через точку M₁(5; 3; 2) и параллельна двум векторам __и __. Плоскость β проходит через точку Р₁(1; 1; 1), Р₂(2; 3; 2) и Р₃(3; 4; 2). Найти угол между плоскостями α и β.

7. Вычислить расстояние между плоскостями __и __.

8. Написать каноническое уравнения прямой __.

9. Найти точку симметричную точке С(-1; 2; 0) относительно прямой __, __, __.

10. При каком n плоскость __будет параллельна прямой __? При __найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью.

11. Прямая α проходит через точку M₁(3; 4; 7) и M₂(-1; 3; 3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно прямой __. Найти угол между прямыми α и β

Вариант 29

1. Вершиной треугольника служит точка M₁(5; -3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M₂(0; -1) и M₃(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.

2. Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату прямой __.

3. Стороны треугольника заданы уравнениями __(АВ), __(ВС), __(АС). Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.

4. Написать уравнение прямой, параллельной прямым __и __и проходящей посередине между ними.

5. Через точку пересечения плоскостей __, __, __провести плоскость, параллельную плоскости __. Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.

6. Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.

7. Плоскость проходит через точки M₁(0; 1; 2), M₂(2; 8; 3), M₃(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).

8. Написать каноническое уравнения прямой __.

9. Доказать, что прямые __ и __ параллельны и найти расстояние между ними.

10. Прямая α проходит через точку А(1; -3; 6) параллельно оси Oy. Прямая β проходит через точку В(2; 1; -1) параллельно прямой __. Найти угол между прямыми.

11. Прямая проходит через точки M₁(-1; 3; 0), M₂(1; 7; 3). Плоскость задана уравнением __. При каких B и D прямая лежит в плоскости

Вариант 30

1. Даны вершины четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям BD.

2. Дано уравнение прямой __. Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.

3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: __(АВ), __(АС) и основание D(-1; 3) высоты AD.

4. Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и В(1; 4).

5. Плоскость α проходит через точку M₁(1; 1; -4), M2(0; -1; -1), M₃(-1; 2; 12). Плоскость β задана уравнением __. Показать, что плоскости параллельны, и выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; -7; 3).

6. Плоскость α проходит через точку M₁(2; -4; 3) и отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и втрое больше чем на оси oz. Плоскость β задана уравнением __. При каких m и n плоскости параллельны? При m=-1, n=2 найти угол между ними.

7. Найти такое число а, чтобы четыре плоскости __, __, __, __проходили через одну точку.

8. Написать каноническое уравнения прямой __.

9. При каких l и n прямая __ и плоскость __ будут перпендикулярны? При l=5, n=4 найти угол между ними.

10. Прямая α проходит через точку M₁(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости __. Прямая β проходит через точки M₁(2; 3; -5) и M₂(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми α и β.

11. Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости __.