Выбор варианта осуществляется согласно приведенной ниже таблице. В первом столбце найдите свой номер в списке группы или в списке ЭЛЕКТРОННОЙ ВЕДОМОСТИ. Цифры в строке показывают номера задач из 10 предложенных заданий, которые следует решить. Например, первый в списке решает 1-ю задачу из первого задания, 2-ю — из второго, 10-ю — из третьего и т. д.

Задания выполняются в том порядке, в котором они приведены ниже.

Варианты ПКЗ / контрольной работы

1.  Комбинаторика

1. Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова КАЛЬКУЛЯТОР?

3. Сколько существует четырехзначных чисел, в запись которых входит ровно одна цифра 2?

4. На школьном вечере присутствуют 12 юношей и 15 девушек. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

5. Флаги многих государств представляют собой полотнища, состоящие из трех горизонтальных полос различного цвета. Сколько таких трехцветных флагов можно составить, имея в распоряжении материал 6 цветов?

6. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если всего есть 5 солдат и три офицера?

7. Сколькими способами можно составить международную команду из 9 человек, если в наличии имеются 5 видов рас?

8. Во втором семестре студенты изучают 8 дисциплин. Выясните сколькими способами можно составить расписание экзаменов на сессию, если в течение ее будут сдаваться 5 дисциплин.

9. В музей приехали 10 экспозиций. Сколькими способами можно выставить эти экспозиции в один день, если учесть, что музей может вместить 4 экспозиции?

10. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

2. Теория вероятности (события)

1. Из колоды, содержащей 36 карт, выбрали три карты. Какова вероятность, что все три карты окажутся дамами? Какова вероятность, что среди выбранных карт будет один король, одна дама и один туз? Какова вероятность, что, хотя бы одна из выбранных карт будет красной масти?

2. Определить вероятность, что случайным образом выбранное двузначное число окажется кратным трем или пяти? Какова вероятность, что выбранное двузначное число кратно трем и пяти одновременно?

3. В группе туристов 45 человек знают английский, 64 человека знают немецкий, и 22 туриста владеют двумя языками. Какова вероятность, что наудачу выбранный турист не будет говорить ни на английском языке, ни на немецком языке? Какова вероятность, что наудачу выбранный турист будет говорить только на немецком языке? Какова вероятность, что наудачу выбранный турист будет говорить только на английском языке?

4. Известно, что в метро размещается 15% всей наружной рекламы, на уличных стендах 50%, а 35% приходятся на рекламу на наземном общественном транспорте. Какова вероятность, что, добираясь на работу можно встретиться со всеми видами рекламы? Какова вероятность увидеть рекламу в метро или на стенде? Какова вероятность увидеть рекламу и в метро, и в общественном транспорте?

5. На выставочном стеллаже находятся пять книг по информатике, шесть по математике и семь по физике. Случайным образом выбирают поочередно три книги. Какова вероятность, что первой будет выбрана книга по математике, далее по информатике и последней будет выбрана книга по физике? Какова вероятность, что все три книги будут по одному предмету?

6. Три фермерские хозяйства поставляют в магазин молоко. Первое хозяйство поставляет пять ящиков по 20 бутылок, второе – четыре ящика по 15 бутылок и третье 16 ящиков по 25 бутылок. Случайным образом отобрана бутылка молока. Какова вероятность, что в бутылке молоко первого или третьего фермерского хозяйства? Какова вероятность, что в бутылке молоко второго или третьего фермерского хозяйства?

7. Из пункта А в пункт В можно добраться тремя способами. Вероятность выбора первого пути составляет 0,2, вероятность выбора второго пути – 0,6. Найти вероятность выбора путешественником третьего пути? Какова вероятность, что путешественник выберет первый путь или второй? Какова вероятность, что путешественник не выберет первый путь?

8. Тайный покупатель совершает контрольную закупку. Вероятность того, что ему попадется качественное изделие равна 0,9. Какова вероятность, что из двух приобретенных для проверки товаров оба окажутся надлежащего качества? Какова вероятность, что, хотя бы одно изделий будет качественным?  Какова вероятность, что из двух проверенных изделий только одно будет хорошего качества?

9. Вероятность правильного заполнения налоговой декларации равна 0,7. Случайным образом было отобрано две налоговые декларации. Какова вероятность, что они обе заполнены верно? Какова вероятность, что только одна из них заполнена верно?

10. Профсоюз предлагает сотрудникам путевки со скидкой 40% в несколько санаториев области. В санаторий «Березка» в среднем покупают путевки 30% сотрудников, в санаторий «Парус» - 50%, в санаторий «Горизонт» - 35%. Двое сотрудников приобрели путевки на санаторно-курортное лечение. Какова вероятность, что оба сотрудника будут отдыхать в одном санатории? Какова вероятность, что оба сотрудника будут отдыхать в разных санаториях?

3. Теория вероятности (события)

1. В отделе банка по работе с физическими лицами работает три мужчины и пять женщин, во втором отделе – четыре мужчины и четыре женщины. Было принято решение перевести одного сотрудника из первого отдел во второй, и одного сотрудника из второго отдела в первый. Какова вероятность, что в результате второго перевода в первый отдел был переведен мужчина?

2. В одной части огорода было посажено три куста смородины и пять кустов малины. Вероятность хорошего урожая малины по прогнозам экспертов составляет 80%, а урожайность смородины 85%. Какова вероятность, что будет получен хороший урожай?

3. В ящике находится пять мандаринов и три апельсина. Во втором ящике шесть мандаринов и семь апельсинов. Из первого ящика два фрукта переместили во второй ящика. А затем выбрали из второго ящика еще два. Какова вероятность, что из второго ящика были выбраны мандарины?

4. В автосалоне 30% автомобилей отечественного производства, остальные импортного. Вероятность продажи импортного автомобиля составляет 0,5, вероятность продажи отечественного автомобиля – 0,6. Автомобиль был продан. Какова вероятность, что он отечественного производства?

5. Агентство недвижимости продает квартиры в новостройке. Вероятность продать квартиру в новостройке в течение месяца равна 0,9, если курс доллара не будет изменяться. Если же курс доллара будет не стабилен, то вероятность продажи составит 0,4. По прогнозу аналитиков курс доллара будет стабилен с вероятностью 0,7. Какова вероятность, что квартира в новостройке будет продана в течение месяца?

6. На электростанцию поступило специализированное оборудование от трех фирм. Первая фирма поставила 10 единиц оборудования, вторая – 6, а третья – 4 единицы. Вероятность безотказной работы оборудования составляет 0,88; 0,90 и 0,95 соответственно. Какова вероятность, что установленное специализированное оборудование будет работать безотказно?

7. Обувная фабрика изготавливает резиновые сапоги. Первая бригада производит 20%, вторая – 35%, третья – 45% всех сапог. Брак составляет 1%, 2% и 3% соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранная пара резиновых сапог окажется с браком?  Случайно выбранная пара резиновых сапог оказалась без дефекта. Какова вероятность, что она была изготовлена первой бригадой?

8. В парке было высажено 10 берез, 12 тополей и пять елей. Вероятность, что береза не приживется, равна 0,02. Вероятность, что тополь не приживется – 0,03. Вероятность, что не приживется ель, равна 0,1.  Какова вероятность, посаженное дерево приживется? Дерево прижилось. Какова вероятность, что это береза?

9. В группе 5 отличников, 10 хорошистов и 15 троечников. Перед началом сессии была проведена итоговая контрольная работа. Вероятность написать контрольную работу на оценку пять студентом отличником равна 0,99. Для хорошиста вероятность написать контрольную работу на оценку отлично составляет 0,49. Для троечника такая вероятность равна 0,22. Какова вероятность, что случайно выбранный студент напишет контрольную работу на оценку отлично. Студент написал контрольную работу на оценку отлично. Найти вероятность, что этот студент отличник, хорошист, троечник?

10. В обувную мастерскую приносят для ремонта женские и мужские сапоги в соотношении 5:3. Вероятность качественного ремонта женских сапог равна 0,9. Вероятность качественного ремонта мужских сапог равна 0,89. Какова вероятность, что выбранная пара сапог качественно отремонтирована?  Выбранная пара сапог оказалась некачественно отремонтирована. Какова вероятность, что это пара мужских сапог?

4. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

1. Игральную кость подбрасывают пять раз. Какова вероятность, что пятерка впадет ровно три раза? Какова вероятность, что пятерка выпадет более трех раз? Какова вероятность, что пятерка выпадет хотя бы один раз? Какова вероятность, что пятерка выпадет менее двух раз?

2. Шесть покупателей решили приобрести кухонный комбайн. Вероятность приобрести кухонный комбайн марки «Цунами» равна 0,3 для каждого покупателя. Какова вероятность, что кухонный комбайн приобретут не менее трех покупателей? Какова вероятность, что кухонный комбайн приобретут ровно двое покупателей? Какова вероятность, что кухонный комбайн указанной марки никто не купит?

3. В среднем вероятность невыплаты процентов по кредиту происходит в 15% случаев. Какова вероятность, что из шести заемщиков банка ровно трое выплатят проценты по кредиту в срок? Какова вероятность, что количество неплательщиков будет менее 2? Какова вероятность, что более половины заемных средств не вернуться в банк?

4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что в семье, где четверо детей: а) не менее двух девочек; б) четыре мальчика.

5. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждого пятого потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найти вероятность того, что это произойдет: а) в трех случаях; б) не более чем в трех.

6. Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 5 проверенных кустов винограда будет поражен: а) один куст; б) не менее двух кустов.

7. Садовод решил вырастить новый сорт огурцов. На упаковке с огурцами указано, что всхожесть семян составляет 88%. Садовод посадил все семь семян. Какова вероятность, что все семена взойдут? Какова вероятность, что как минимум половина семян взойдет?

8. На избирательном участке в среднем в час заполняется 10000 бюллетеней. Вероятность, что бюллетень будет испорчен, равна 0,0002. Какова вероятность, что в течение часа будет испорчено два бюллетеня? Какова вероятность, что будет испорчен хотя бы один бюллетень? Какова вероятность, что будет испорчено от трех до пяти бюллетеней?

9. В магазин поступило 5000 бутылок газированной воды. Известно, что при транспортировке вероятность разбить бутылку равна 0,001. Какова вероятность, что все бутылки с газированной водой окажутся целыми?  Какова вероятность, что разобьется от двух до пяти бутылок?

10. Ежедневно в банкомат поступает 50000 купюр. Вероятность, что банкомат не распознает фальшивую купюру, равна 0,00002. Какова вероятность, что все купюры, помещенные в банкомат в течение дня, не фальшивые? Какова вероятность, что фальшивых купюр будет от пяти до десяти?

5. Теория вероятности (случайные величины)

1. Из десяти ключей только четыре подходят к замку. Наудачу выбирают два ключа. Составить закон распределения подходящих к замку ключей среди выбранных.

2. В коробке пять красных шаров и три синих. Наудачу выбирают три шара. Составить закон распределения красных шаров среди выбранных.

3. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Найти вероятности р₁ и р₃, если известно, что р₃ в четыре раза больше р₁.

4. Хоккеист выполняет три штрафных вбрасывания. Вероятность попадания шайбы в ворота равна 0,7. Составить закон распределения числа попаданий шайбы в ворота. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

5. В магазин поступили шоколадные конфеты в равных количествах производства трех фабрик. Вероятности, что конфеты соответствуют стандартам качества, равны 0,75, 0,84 и 0,95. Отобрано две шоколадных конфет. Составить закон распределения количества конфет отличного качества среди отобранных.

6. Даны законы распределения двух случайных величин

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины F=3X+4Y.

7. В магазин поступили электрические чайники с трех заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака для первого поставщика - 2%, для второго – 3%, для третьего – 4%. Покупатель приобрел три чайника. Составить закон распределения чайников с дефектами среди купленных. Найти математическое ожидание и дисперсию числа качественных чайников среди купленных.

8. Экзаменатор задает вопросы студенту до тех пор, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигает четырех либо студент отвечает неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на вопрос 2/3. Составить закон распределения числа заданных вопросов студенту. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.

9. Имеется три банка, обещающих своим вкладчикам доход 30%. Вероятность разорения каждого банка в течение года равна 0,5. Пусть Х – число разорившихся банков в течение года среди упомянутых трех банков. Составить закон распределения случайной величины Х, считая, что вероятность разорения одного банка не влияет на вероятность разорения других банков. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.

10. В партии из шести деталей имеется четыре стандартные. Случайным образом отобрали три детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди выбранных. Определить вероятность, что стандартных деталей среди выбранных окажется не более двух. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.

6. Математическая статистика

1. Проверяющий в течение контрольного периода записывал время ожидания нужного автобуса (в минутах) и получил следующие данные:

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднее время ожидания и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 95% для среднего времени ожидания автобуса.

2. Измерение роста 40 из прибывших в часть новобранцев дало следующие результаты (в сантиметрах):

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти средний рост и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 90% для среднего роста новобранца.

3. Агент статистической службы посетил 32 продовольственных магазина и записал цену килограмма говядины высшего сорта в каждом из них (в рублях):

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднюю цену килограмма говядины и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 98% для средней цены килограмма мяса.

4. Контролер ОТК взвесил 24 пакета растворимого кофе и записал массу каждого из них (в граммах):

Построить интервальную группировку данных по пяти интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднюю массу пакета и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 99% для средней массы пакета.

5. Для оценки необходимых затрат рабочего времени собраны данные о том, сколько минут требуется на оформление однотипных комплектов документов случайно выбранным специалистам (в минутах):

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднюю продолжительность оформления комплекта документов и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 90% для средней продолжительности оформления документов.

6. Контролер ОТК проверил срок службы 40 электрических ламп и получил следующие данные (в часах):

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти средний срок службы лампы и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 95% для среднего срока службы лампы.

7. Управляющий филиалом банка собрал данные о размере открытых вкладов (в тыс. рублей):

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.

Найти средний размер открываемого вклада и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 95% для среднего размера вклада.

8. В продовольственном магазине в течение месяца собрана информация о числе посетителей в сутки (в тыс. человек):

Построить интервальную группировку данных по пяти интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднее число посетителей и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 90% для среднего числа посетителей.

9. Для 40 магазинов одной торговой сети, находящихся в разных населенных пунктах, определена стоимость корзины продуктов первой необходимости (в рублях):

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднюю стоимость корзины и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 99% для стоимости продуктовой корзины.

10. В супермаркете собрана информация о времени ожидания покупателей в очереди (в минутах):

Построить интервальную группировку данных по пяти интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднее время ожидания в очереди и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительный интервал надежности 90% для среднего времени ожидания в очереди.