Контрольная работа №1

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ

Задача 1. Используя теорему Кронекера – Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задача 11.

1. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезанных квадратов, чтобы объем коробки был наибольшим?

2. Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить конус с наибольшим объемом.

3. Завод расположен на расстоянии 10 км от железной дороги, идущей в город, и на расстоянии 100 км от этого города. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе с завода, чтобы доставка грузов из завода в город была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в 2 раза дороже, чем по железной дороге?

4. Шар свободно скатывается по наклонной плоскости. Если горизонтальное основание наклонной плоскости остается неизменным, то каков должен быть угол наклона, чтобы время скатывания шара было наименьшим?

5. Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную площадь поперечного сечения. Если поперечное сечение есть равнобочная трапеция, то каким должен быть угол наклона ее боковых сторон, чтобы при движении воды по каналу потери на сопротивление трения были наименьшими.

6. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

7. Из круглого бревна, диаметр которого равен 16 см, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб пропорционально ширине и квадрату высоты.

8. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна x руб., а стенок – y руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для изготовления были наименьшими?

9. Выбрать место для постройки моста через реку, текущую вдоль прямой, чтобы длина дороги между пунктами A и B, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшей. Расстояние от A до реки равно   2,4 км, от B – 7,2 км,   AB = 26 км. Ширина реки 400 м.

10. Груз весом 300 кг, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть приложенной к нему силой. Под каким углом a к горизонту нужно направить силу, чтобы она была наименьшей. Коэффициент трения       m = 0,2.

11. Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нужно выложить  внутри свинцом. Каковы должны быть размеры резервуара емкостью 108 л, чтобы выкладка требовала наименьшего количества свинца?

12. Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют толщину 0,5 см. Каковы должны быть размеры цилиндра емкостью 512 л, чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала?

13. Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть наименьшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала вдвое превышает его высоту.

14. Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

15. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь составляла 800 м², а длина забора была наименьшей?

16. От канала шириной 4 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять по этим каналам из одного в другой (не учитывая толщины бревен)?

17. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 и 50 км/ч. Улицы пересекаются под углом 60^о. В начальный момент времени машины находятся на расстоянии 5 и 4 км от перекрестка (соответственно). Через какое время расстояние между ними станет наименьшим?

18. Решеткой длиной 120 м нужно огородить с трех сторон прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки?

19. На прямой между двумя источниками света силы F₁  и F₂ найдите наименее освещенную точку, если расстояние между источниками света  24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна квадрату расстояний ее от источника света.)

20. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 рублям в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 рублям в час. Требуется определить, при какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей.

21. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести (горизонтально) из одного коридора в другой.

22. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

23. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

24. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

25. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

Задача 12. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r = r(t) в точке t_o.

Задача 16. Задачи решить в системе СИ.

1. Вычислить силу давления на прямоугольную пластинку с основанием 4 см и высотой 8 см, погруженную вертикально в воду так, что верхнее основание пластинки находится ниже поверхности воды на 2 см.

2. Сила в 5 кг растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины 8 см. Какую работу надо выполнить, если растянуть пружину до     12 см?

3. Сжатие винтовой пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия пружины на 0,5 см надо приложить силу в 1 кг.

4. Сила в 1 кг сжимает пружину на 1 см. Определить работу при сжатии пружины на 12 см.

5. При растяжении пружины на 4 см произведена работа в 10 кгм. Какую работу надо затратить, если растянуть пружину на 10 см?

6. Найти силу давления воды на одну из стенок сосуда прямоугольной формы, имеющего длину 0,6 м, а высоту 15 см.

7. Сила в 60 Н  растягивает пружину на 0,02 м. Определить работу при растяжении ее на 0,1 м.

8. Цилиндрический сосуд с радиусом основания, равным 0,5 м и высотой 20 см наполнен водой. Определить силу давления воды на боковую стенку сосуда.

9. Для сжатия пружины на 5 см затрачена работа в 19,6 Дж. Какую работу надо затратить, чтобы сжать пружину в 4 см?

10. Треугольная пластинка с основанием 0,3 м и высотой 0,6 м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.

11. При растяжении пружины на 2 см надо приложить силу в 6 кг. Вычислить работу при сжатии ее на 8 см.

12. Сила в 6 кг растягивает пружину  на 1 см. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 20 см, если первоначальная длина равна 12 см?

13. Вычислить силу давления воды на прямоугольную пластинку, вертикально погруженную в воду, если ее основание 10 м, высота h = 4 м, верхнее основание лежит  на поверхности воды.

14. Для сжатия пружины на 0,04 м надо приложить силу 78,4 Н. Вычислить работу при сжатии этой  пружины на 0,06 м.

15. Сосуд, имеющий форму прямой призмы с квадратным дном, наполнен водой. Длина стороны основания призмы равна 3 м, а высота – 2 м. Вычислить силу давления воды на одну вертикальную стенку.

16. При растяжении пружины на 6 см произвели работу в 10 кгм. Какую работу надо затратить при растяжении пружины на 10 см?

17. Прямоугольная пластинка погружена вертикально в воду так, что верхнее основание расположено на 2 см  ниже уровня жидкости. Определить силу давления воды на пластинку, если ее основание равно 20 см, а высота – 12 см.

18. При растяжении пружины на 6 см надо затратить работу 3 кгм. На сколько растянется пружина, если затратить работу в 1 кгм?

19. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму полушара, радиус которого 8 м?

20. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из ямы, имеющей форму конуса (с вершиной на дне), высота которого H = 2 м, а радиус основания R = 0,5 м.

21- 25. Цилиндр с высотой H и радиусом основания R наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу ( в джоулях) при изотермическом сжатии газа невесомым поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h.

21. H = 0,4 м,  h = 0,35 м,  R = 0,1 м.     22. H = 0,4 м,  h = 0,2 м,  R = 0,1 м.

23. H = 0,8 м,  h = 0,6 м,    R = 0,2 м.     24. H = 1,6 м,  h = 1,4 м,  R = 0,3 м.

25. H = 1,6 м,  h = 0,8 м,    R = 0,3 м.

Контрольная работа № 4

Дифференциальные уравнения

Задача 17. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:

Задача 22. Решить задачи:

1. Скорость распада радия пропорциональна наличному количеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остается половина первоначального запаса радия. Какой процент радия окажется распавшимся по истечении 800 лет?

2. Материальная точка массы m = 3 кг без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Найти расстояние, пройденное точкой за время t = 2 с, считая, что при медленном погружении сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения (коэффициент пропорциональности k = 3).

3. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v_o = 12 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен, и через 10 с, скорость лодки уменьшилась до v₁ = 6 км/ч. Определить путь, пройденный лодкой за 1 мин (с момента выключения мотора), считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

4. Материальная точка массой m = 2 г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k = 0,002 кг/с. Найти скорость точки через        1 с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

5. Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 15 м?

6 – 15. Пуля входит в доску толщиной h м со скоростью v_o м/с, а вылетает из доски со скоростью v₁ м/с. Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти время движения пули через доску.

6.  h= 0,1,      v_o = 500,   v₁ = 400.

7.  h = 0,1,     v_o = 400,   v₁ = 300.

8.  h = 0,1,     v_o = 100,   v₁ = 50.

9.  h = 0,05,   v_o = 400,   v₁ = 300.

10.  h = 0,05,   v_o = 200,   v₁ = 100 .

11.  h = 0,02,   v_o = 500,   v₁ = 400.

12.  h = 0,02,   v_o = 300,   v₁ = 200.

13.  h = 0,02,   v_o = 200,   v₁ = 100.

14.  h = 0,02,   v_o = 400,   v₁ = 300.

15.  h = 0,02,   v_o = 100,   v₁ = 50.

16 – 25. Сила трения, замедляющая движение диска, вращающегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости вращения. Диск, начавший вращаться с угловой скоростью w_о оборотов в секунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью w₁ оборотов в секунду. Какова его угловая скорость через t минут после начала вращения?

16.  w_o = 2,       w₁ = 1,     t = 4.

17.  w_o = 6,       w₁ = 2,     t = 3.

18.  w_o = 12,     w₁ = 4,     t = 3.

19.  w_o = 20,     w₁ = 5,     t = 2.

20.  w_o = 18,     w₁ = 6,     t = 3.

21.  w_o = 16,     w₁ = 8,     t = 3.

22.  w_o = 27,     w₁ = 9,     t = 2.

23.  w_o = 18,     w₁ = 7,     t = 2.

24.  w_o = 20,     w₁ = 10,   t = 3.

25.  w_o = 27,     w₁ = 9,     t = 2.