Контрольная работа №1

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 3

Даны векторы .

Требуется:

1) показать, что векторы  образуют базис трехмерного пространства;

2) найти координаты вектора  в этом базисе.

Задача 13

Даны координаты вершин пирамиды А₁(-1;2;3), А₂(0;1;1), А₃(-1;0;3), А₄(5;2;0). Требуется средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) проекцию вектора  на вектор ;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) канонические уравнения прямой А₁А₃;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

9) канонические уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

Сделать чертеж пирамиды в декартовой системе координат.

Задача 23

Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон x + y – 1 = 0 и y + 1 = 0, если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке P(-1; 0). Сделать чертеж.

Задача 33

Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 2x + 5 = 0 относятся как 4:5. Уравнение привести к каноническому виду. Сделать чертеж.

Контрольная работа №2

Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ

Задача 43

Даны два линейных преобразования X^/=AX и X^//=BX^/. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее X^// через X.

Задача 53

Дана система линейных уравнений:

Требуется:

1) доказать ее совместность;

2) решить систему методом Гаусса;

3) решить систему средствами матричного исчисления, т.е. используя обратную матрицу.

Задача 63

Дана система линейных уравнений:

Требуется найти все решения системы, если она совместна.

Задача 73

Требуется найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Задача 83

а) Задана функция  и два значения аргумента x₁ = 4, x₂ = 3.

Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа;

3) сделать схематический чертеж.

б) Задана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

Контрольная работа №3

Дифференцирование функций

Задача 93

Требуется найти производные  данных функций:

Задача 103

Требуется найти  и :

Задача 113

Требуется исследовать функции:

методами дифференциального исчисления и построить их графики по плану:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной, т.е. симметричен ли ее график относительно оси ординат или начала координат.

3. Найти вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.

4. Найти интервалы монотонности, т.е. интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

6. Построить график функции, используя все собранные данные (если их окажется недостаточно, чтобы представить график функции, то найти несколько дополнительных точек, например, точки пересечения с осями координат).

Задача 123

Требуется записать уравнения касательной и нормали:

а) к кривой  в точке M₀ с абсциссой x₀ = -1;

б) к кривой  в точке M₁(0, 1).

Задача 133

Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?

Задача 143

Требуется показать, что функция  удовлетворяет равенству .