Контрольная работа №4

Интегрирование функций

Задача 155

Требуется найти интегралы. В пунктах а) и б) сделать проверку.

Задача 165

Требуется вычислить площадь области, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

Задача 175

Вычислить длину дуги кривой 

.

Задача 185

Требуется вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и чертеж его проекции на плоскость xOy.

.

Задача 195

Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного конической поверхностью  и плоскостью y = 3. Сделать чертеж тела.

Контрольная работа №5

Дифференциальные уравнения

Задача 205

Требуется найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

.

Задача 215

Требуется найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее условиям .

Задача 225

Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Задача 235

Требуется найти общее решение системы дифференциальных уравнений методом исключения:

.

Задача 245

Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 0), у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

Контрольная работа №6

Теория вероятностей и элементы математической статистики

Задача 255

В группе 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Задача 265

Вероятность того, что компьютер в течение года не выйдет из строя, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение года из 5 компьютеров а) два выйдут из строя; б) не менее двух выйдет из строя; в) все пять будут работать.

Задача 275

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения F(x):

Требуется найти:

1) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

2) математическое ожидание M(X);

3) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(X);

4) вероятность попадания заданной случайной величины X в интервал P(0<x<1/4).

Задача 285

Требуется найти вероятность попадания в интервал (3, 7) нормально распределенной случайно величины X, если известны ее математическое ожидание a = 5 и среднее квадратическое отклонение s = 2.

Задача 295

Требуется найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью g = 0,99, зная выборочную среднюю x_в = 186,05, среднее квадратическое отклонение s = 9 и объем выборки n = 81.

Задача 305

Из генеральной совокупности произведена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде таблицы: первая строка – середины частичных интервалов x_i, вторая строка – соответствующие им частоты n_i.

Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:

1. Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю x_в, выборочное среднее квадратическое отклонение s_в, исправленное среднее квадратическое отклонение S_в.

4. Считая, что данная выборка принадлежит нормальной совокупности, записать уравнение выравнивающей (теоретической) кривой и, вычислив теоретические частоты, построить ее на одном чертеже с полигоном частот (эмпирической кривой).

5. Проверить для заданного уровня значимости a = 0,05 по критерию согласия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. В случае принятия гипотезы найти с надежностью (доверительной вероятностью) g = 0,95 интервальные оценки параметров генеральной совокупности, т.е. доверительные интервалы математического ожидания a и среднего квадратического отклонения s, применяя распределение Стьюдента и c²(«хи квадрат»).