Контрольная работа №4

Интегрирование функций

Задача 156

Требуется найти интегралы. В пунктах а) и б) сделать проверку.

Задача 166

Требуется вычислить площадь области, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

Задача 176

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной кривыми . Сделать чертеж.

Задача 186

Требуется вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и чертеж его проекции на плоскость xOy.

.

Задача 196

Найти массу тела, ограниченного плоскостью z = 0, цилиндрической поверхностью  и конической поверхностью , если плотность в каждой его точке численно равна расстоянию от этой точки до оси Oz. Сделать чертеж тела.

Контрольная работа №5

Дифференциальные уравнения

Задача 206

Требуется найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

.

Задача 216

Требуется найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее условиям .

Задача 226

Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Задача 236

Требуется найти общее решение системы дифференциальных уравнений методом исключения:

.

Задача 246

Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1/e), у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты точки касания.

Контрольная работа №6

Теория вероятностей и элементы математической статистики

Задача 256

В спартакиаде участвуют из первой группы 4 студента, из второй – 6 и из третьей – 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, второй группы – с вероятностью 0,7, третьей группы – с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе, вероятнее всего, учится этот студент?

Задача 266

Что вероятнее: выиграть у равносильного (т.е. вероятность выигрыша равна вероятности проигрыша) противника в шахматы три партии из четырех или пять из восьми? Чему равна вероятность выиграть не менее трех партий из четырех?

Задача 276

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения F(x):

Требуется найти:

1) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

2) математическое ожидание M(X);

3) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(X);

4) вероятность попадания заданной случайной величины X в интервал P(1<x<2).

Задача 286

Требуется найти вероятность попадания в интервал (4, 8) нормально распределенной случайно величины X, если известны ее математическое ожидание a = 5 и среднее квадратическое отклонение s = 3.

Задача 296

Требуется найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью g = 0,99, зная выборочную среднюю x_в = 187,06, среднее квадратическое отклонение s = 10 и объем выборки n = 100.

Задача 306

Из генеральной совокупности произведена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде таблицы: первая строка – середины частичных интервалов x_i, вторая строка – соответствующие им частоты n_i.

Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:

1. Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю x_в, выборочное среднее квадратическое отклонение s_в, исправленное среднее квадратическое отклонение S_в.

4. Считая, что данная выборка принадлежит нормальной совокупности, записать уравнение выравнивающей (теоретической) кривой и, вычислив теоретические частоты, построить ее на одном чертеже с полигоном частот (эмпирической кривой).

5. Проверить для заданного уровня значимости a = 0,05 по критерию согласия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. В случае принятия гипотезы найти с надежностью (доверительной вероятностью) g = 0,95 интервальные оценки параметров генеральной совокупности, т.е. доверительные интервалы математического ожидания a и среднего квадратического отклонения s, применяя распределение Стьюдента и c²(«хи квадрат»).