Контрольная работа №1

Задание 2

Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

Задание 12

Даны координаты вершин треугольника АВС.

А(0; -1), В(3; 3), С(4; 1).

Найти: 1) Длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD: 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ.

Задание 22

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

А(2; 3; 2), В(0; 6; 2), С(0; 3; 8), D(2; 6; 10).

Требуется:

1. записать векторы  в системе орт  и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами ;

3. найти проекцию вектора  на вектор ;

4. найти площадь грани АВС;

5. найти объем пирамиды ABCD.

Задание 32

Найти указанные пределы:

1)  при а) x₀ = -1; б) x₀ = 1; в) x₀ = ¥.

2) .

Задание 42

Найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

а) ,   б) ,

в) ,   г) .

Задание 52

а) ; a = -1; b = 2;

б) .

1) Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики.

2) Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a; b].

Задание 62

Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

Задание 72

Найти приближенное значение функции , x = 5,08, заменяя приращение функции Dy соответствующим дифференциалом dy.

Задание 82

Для кривой  в точке А(3; 4) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.

Контрольная работа №2

Задание 92

Найти неопределенный интеграл способом подстановки (методом замены переменной):

.

Задание 102

Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям:

.

Задание 112

Найти неопределенный интеграл, пользуясь разложением рациональной дроби на простейшие:

.

Задание 122

Вычислить определенный интеграл:

.

Задание 132

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:

.

Задание 142

Найти длину дуги кривой:

.

Задание 152

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Задание 162

Вычислить частные производные первого и второго порядка заданной функции:

.

Задание 172

Задана функция z = f(x, y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x₀, y₀) в направлении вектора l, составляющего угол a с положительным направлением оси OX.

.

Задание 182

Найти экстремум заданной функции:

.

Задание 192

С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице):

.

Задание 202

Вычислить работу, совершаемую переменной силой  на криволинейном пути L (дуга параболы): , соединяющем точки M(0; 1) и N(2; 9).