Контрольная работа №1

Задание 3

Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

Задание 13

Даны координаты вершин треугольника АВС.

А(1; -2), В(4; 2), С(5; 0).

Найти: 1) Длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD: 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ.

Задание 23

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

А(0; 3; 2), В(-2; 6; 2), С(-2; 3; 8), D(0; 6; 10).

Требуется:

1. записать векторы  в системе орт  и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами ;

3. найти проекцию вектора  на вектор ;

4. найти площадь грани АВС;

5. найти объем пирамиды ABCD.

Задание 33

Найти указанные пределы:

1)  при а) x₀ = 2; б) x₀ = -2; в) x₀ = ¥.

2) .

Задание 43

Найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

а) ,   б) ,

в) ,   г) .

Задание 53

а) ; a = 2; b = 4;

б) .

1) Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики.

2) Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a; b].

Задание 63

Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S = 24p (м²)

Задание 73

Найти приближенное значение функции , x = 5,84, заменяя приращение функции Dy соответствующим дифференциалом dy.

Задание 83

Для кривой  в точке  найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.

Контрольная работа №2

Задание 93

Найти неопределенный интеграл способом подстановки (методом замены переменной):

.

Задание 103

Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям:

.

Задание 113

Найти неопределенный интеграл, пользуясь разложением рациональной дроби на простейшие:

.

Задание 123

Вычислить определенный интеграл:

.

Задание 133

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:

.

Задание 143

Найти длину дуги кривой:

.

Задание 153

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Задание 163

Вычислить частные производные первого и второго порядка заданной функции:

.

Задание 173

Задана функция z = f(x, y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x₀, y₀) в направлении вектора l, составляющего угол a с положительным направлением оси OX.

.

Задание 183

Найти экстремум заданной функции:

.

Задание 193

С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице):

.

Задание 203

Вычислить работу, совершаемую переменной силой  на криволинейном пути L (дуга кубической параболы): , соединяющем точки M(0; 0) и N(2; 8).