Контрольная работа №1

Задание 5

Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

Задание 15

Даны координаты вершин треугольника АВС.

А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2).

Найти: 1) Длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD: 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ.

Задание 25

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

А(2; 3; 0), В(0; 6; 0), С(0; 3; 6), D(2; 6; 8).

Требуется:

1. записать векторы  в системе орт  и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами ;

3. найти проекцию вектора  на вектор ;

4. найти площадь грани АВС;

5. найти объем пирамиды ABCD.

Задание 35

Найти указанные пределы:

1)  при а) x₀ = -2; б) x₀ = -1; в) x₀ = ¥.

2) .

Задание 45

Найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

а) ,   б) ,

в) ,   г) .

Задание 55

а) ; a = 0; b = 4;

б) .

1) Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики.

2) Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a; b].

Задание 65

Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см³, причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Задание 75

Найти приближенное значение функции , x = -7,85, заменяя приращение функции Dy соответствующим дифференциалом dy.

Задание 85

Для кривой  в точке А(2; 2) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.

Контрольная работа №2

Задание 95

Найти неопределенный интеграл способом подстановки (методом замены переменной):

.

Задание 105

Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям:

.

Задание 115

Найти неопределенный интеграл, пользуясь разложением рациональной дроби на простейшие:

.

Задание 125

Вычислить определенный интеграл:

.

Задание 135

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами:

.

Задание 145

Найти длину дуги кривой:

.

Задание 155

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Задание 165

Вычислить частные производные первого и второго порядка заданной функции:

.

Задание 175

Задана функция z = f(x, y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x₀, y₀) в направлении вектора l, составляющего угол a с положительным направлением оси OX.

.

Задание 185

Найти экстремум заданной функции:

.

Задание 195

С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице):

.

Задание 205

Вычислить работу, совершаемую переменной силой  на криволинейном пути L:  - отрезок прямой, соединяющей точки M(1; 2) и N(3; 5).